Delta mi!

Skorzystamy ze znanej nierówności ; we wszystkich symbolach sumowania przyjmujemy Przy warunku mamy więc Dla każdej liczby rzeczywistej słuszne jest oszacowanie Stąd

czyli

W uzyskanej zależności można osiągnąć równość, biorąc na przykład

Widać, że Dla mamy przy tym

zaś dla :

Tak więc

(dla tak określonych liczb ; można dać wiele innych przykładów). Wniosek: liczba to szukane minimum.

Wygodnie będzie zacząć od przypadku, gdy losowanie jest ze zwracaniem. Wynik losowania to wówczas para uporządkowana dzielników liczby Zdarzenia identyfikujemy z odpowiednimi podzbiorami zbioru wszystkich takich par. Gdy para należy do liczby są względnie pierwszymi dzielnikami liczby zatem także iloczyn jest dzielnikiem Oczywiście dzieli więc para należy do

Na odwrót, gdy jest dowolną parą ze zbioru (więc ), wtedy iloraz też jest dzielnikiem i to względnie pierwszym z (bo gdyby miały wspólny dzielnik liczba więc i byłaby podzielna przez wbrew założeniu zadania). Zatem para należy do

Opisane operacje są wzajemnie odwrotne. Stąd wynika, że zbiory i są równoliczne; zaś zdarzenia są (przy losowaniu ze zwracaniem) jednakowo prawdopodobne.

Losowanie bez zwracania eliminuje dublety, tzn. pary postaci gdzie W poprzednim modelu, do zbioru należała tylko jedna taka para ; do należały wszystkie. Więcej par zostało wyeliminowanych z wobec czego (przy losowaniu bez zwracania) zdarzenie jest bardziej prawdopodobne niż

Wymnażając wyrażenia w nawiasach i redukując wyrazy podobne, dostajemy równoważną nierówność

która jest prawdziwa wobec nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną.

Warunek dany w zadaniu przekształca się w równoważny sposób do postaci Rozważmy taki czworokąt że oraz Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów oraz otrzymujemy wówczas

a stąd

Oznaczmy przez miarę kąta Wówczas i korzystając z twierdzenia cosinusów tym razem w trójkątach i dostajemy

skąd mamy

i ostatecznie

Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, to z twierdzenia Ptolemeusza wynika równość którą - korzystając z wcześniejszych obserwacji - możemy przepisać w postaci

Z warunku wynikają zależności oraz z których otrzymujemy ciąg nierówności

Jeżeli liczba jest pierwsza, to biorąc pod uwagę powyższe nierówności, widzimy, że jest ona względnie pierwsza z liczbami oraz Z otrzymanej przez nas równości otrzymujemy więc podzielność To jednak przeczy drugiej z powyższych nierówności i w efekcie dowodzi, że liczba jest złożona.

Liczby, dla których najbliższym kwadratem jest mają postać

(1)

Suma wartości dla tych liczb wynosi Stąd

Dla liczb postaci (1) obliczamy:

Aby ujednolicić zapis, wprowadzamy parametr i wyznaczamy (dla w formie (1)):

(2)

Interesują nas wartości całkowite uzyskanego wyrażenia. Przekształcamy je do postaci

(3)

Dla oraz wychodzą wartości niecałkowite - można je zignorować, ograniczając zakres parametru do Wówczas

Różnica (2) jest więc liczbą całkowitą (równą ) wtedy i tylko wtedy, gdy zaś Gdy ostatni warunek jest spełniony dla trzech par mianowicie

Wniosek: dowolna liczba całkowita jest wartością wyrażenia jedynie dla gdzie zaś jest jedną z trzech powyższych par - czyli, po podstawieniu, dla

Zgodnie z zadaniem, niech będzie taką liczbą, że oraz Tak więc

skąd Skoro musi być Dostajemy równanie z rozwiązaniami oraz Obie wartości spełniają wymagane warunki

Przykład dla

Rozważmy szachownicę o wierszach i kolumnach, której każde pole pomalowano na czarno z prawdopodobieństwem a z prawdopodobieństwem pozostawiono białe. Prawdopodobieństwo, że wybrany wiersz jest cały czarny jest wówczas równe (bo każde z pól musi być czarne), więc prawdopodobieństwo, że istnieje w nim białe pole wynosi

Niech oznacza zdarzenie: w każdym wierszu jest co najmniej jedno białe pole. Wierszy jest ; wobec powyższej obserwacji Analogicznie niech oznacza zdarzenie: w każdej kolumnie istnieje pole czarne, wówczas

Jeśli nie zachodzi zdarzenie czyli nie jest prawdą, że w każdym wierszu jest białe pole, to istnieje wiersz o wszystkich polach czarnych. Wtedy na pewno w każdej kolumnie jest czarne pole (choćby z tego właśnie wiersza), czyli zachodzi zdarzenie Wobec tego zawsze zachodzi co najmniej jedno spośród zdarzeń i stąd czyli

Niech oznacza dany ciąg. Niech dla - ta równość definiuje jednoznacznie liczbę Dla ciągu ruch polega na zamianie jego dwóch wyrazów znajdujących się w odległości lub Jeśli umiemy posortować drugi ciąg, to pierwszy też. Definiujemy ciąg przyjmując, że gdzie oznacza tę liczbę spośród dla której różnica jest podzielna przez Ponieważ więc ciąg to permutacja ciągu Ruchy w ciągu odpowiadają zamianie kolejnych wyrazów ciągu Do ciągu można zastosować sortowanie bąbelkowe pozwalające ustawić jego wyrazy w dowolnej kolejności.

Niech dla Udowodnimy, że dla każdego Bezpośrednie wymnożenie wskazuje, że dla Zatem

Ponieważ dla więc W efekcie co jest równoważne nierówności Ponieważ więc z zależności i związku otrzymujemy dla oraz dla W myśl określenia funkcji powyższe nierówności można zapisać w postaci dla oraz dla Stąd zaś, po wymnożeniu stronami i skorzystaniu z warunku (1), uzyskujemy

Zauważmy, liczba niedobra może być zapisana w postaci przy czym, oczywiście, i - jest tak ponieważ jeśli jest liczbą parzystą, to a jeśli jest liczbą nieparzystą, to

więc jest ich mniej niż

Niech będzie parą zbiorów, spełniających wymienione warunki. Ponumerujmy te warunki, w podanej kolejności, (i), (ii), (iii), (iv).

Gdyby liczba 0 była w zbiorze to dla każdej liczby mielibyśmy (z war. (iv)) ; to by znaczyło, że zbiór zawiera się w zbiorze czyli (z war. (i)) Wtedy (z war. (iii)) także co daje sprzeczność z warunkiem (ii). Wniosek: Warunek (i) wymusza konkluzję: Stąd (i z war. (iii))

Gdyby liczba 1 była w zbiorze to (z war. (iii)) ; a przecież Tak więc czyli (z war. (i))

Wykażemy indukcyjnie, że dla każdej liczby całkowitej :

(*)

Dla tak jest. Ustalmy liczbę i przyjmijmy słuszność związków (*) dla tej liczby Przypuśćmy, że ; wtedy (z war. (iv)) wbrew założeniu indukcyjnemu. Zatem czyli (z war. (i))

Przypuśćmy z kolei, że Wtedy (z war. (iii)) wbrew temu, co wykazaliśmy tuż przed chwilą. Zatem czyli (z war. (i)) Uzyskaliśmy związki (*) z liczbą zastąpioną przez Z zasady indukcji własność (*) przysługuje wszystkim liczbom całkowitym nieujemnym.

Teraz pokażemy, że ujemnym - też. Przypuśćmy, że dla pewnej liczby Wiemy już (własność (*)), że a więc (z war. (iv)): ; sprzeczność z wcześniejszym ustaleniem W takim razie czyli (z war. (i))

Wreszcie przypuśćmy, że dla pewnej liczby ; wtedy (z war. (iii)) wbrew temu, co stwierdziliśmy przed chwilą. Zatem czyli (z war. (i))

Mamy więc słuszność związków (*) dla wszystkich Mówią one, że jest zbiorem wszystkich liczb parzystych, a jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych. Ta para zbiorów spełnia, rzecz jasna, wymagane warunki - i jest to jedyna taka para.

Idąc za odruchem przekształcania, sprowadzamy równanie do postaci skąd otrzymujemy i podstawiamy:

Oczywiście

zatem

Niech będzie dowolną liczbą co najmniej dwucyfrową, której ostatnią cyfrą jest zero, a przedostatnią cyfrą nie jest dziewiątka. Wówczas w ciągu dwudziestu kolejnych liczb …, znajduje się liczba o sumie cyfr podzielnej przez 11; jeśli bowiem suma cyfr liczby wynosi to sumy cyfr liczb …, wynoszą …, zaś liczba ma sumę cyfr równą ; rzecz jasna, któraś z wartości …, dzieli się przez 11.

Pozostaje teraz zauważyć, że każdy ciąg kolejnych 39 liczb naturalnych zawiera 20-wyrazowy blok o wyrazie początkowym postaci, jak wyżej.

Postulowaną własność mają na przykład wszystkie liczby postaci Żadna z nich nie jest sumą dwóch niezerowych kwadratów; przypuśćmy bowiem, że ; liczby nie mogą być obie nieparzyste (bo wówczas (mod 4)); muszą więc być parzyste, co daje przedstawienie liczby w postaci sumy dwóch niezerowych kwadratów. Dalsze zstępowanie prowadzi do konkluzji, że 4 jest sumą dwóch niezerowych kwadratów - a to absurd.

Natomiast niezerowe wymierne rozwiązanie równania łatwo uzyskamy, biorąc dowolną trójkę pitagorejską liczb naturalnych i przyjmując