Delta mi!

Przypuśćmy, że jest liczbą złożoną dla pewnego i oznaczmy przez najmniejszą taką dodatnią liczbę całkowitą, że jest liczbą złożoną. Z założeń zadania wynika, że czyli

Oznaczmy przez najmniejszy dzielnik pierwszy liczby Zauważmy, że

wobec czego czyli istnieje liczba całkowita o tej własności, że

Wówczas

jest liczbą podzielną przez więc skoro dzieli to również jest liczbą podzielną przez Pozostaje zauważyć, że

oraz

więc a co za tym idzie - jest liczbą złożoną. Jednak więc stoi to w sprzeczności z wyborem liczby

Przyjmijmy oznaczenie

i rozważmy wielomian Skoro

oraz liczby są różne, to są one różnymi pierwiastkami wielomianu Stąd na mocy wzorów Viéte'a uzyskujemy

Łatwo sprawdzić, że liczby spełniające założenia zadania rzeczywiście istnieją, np.

więc znaleziona wartość 0 istotnie jest osiągalna.

Zauważmy, że

Dodając stronami te dwie równości, uzyskujemy czyli

Łatwo sprawdzić, że liczby spełniające założenia zadania rzeczywiście istnieją (np. ), więc znaleziona wartość 0 istotnie jest osiągalna.

Z tożsamości

wynika, że zadane równanie jest równoważne następującemu:

(1)

Jest też równoważne każdemu z dwóch równań uzyskanych przez cykliczne przestawienie zmiennych w (1). Jeśli więc liczby całkowite spełniają warunki zadania, to iloczyny są nieujemne, co oznacza, że liczby są wszystkie nieujemne lub wszystkie niedodatnie.

Weźmy przypadek, gdy Ze związku (1) (oraz warunku, że nie mają wspólnego dzielnika ) wynika, że dla pewnej pary liczb całkowitych względnie pierwszych. Przepisujemy (1) jako czyli

Uwzględniając pominięty przypadek, gdy widzimy, że trójka ma postać

(2)

Na odwrót, jeśli trójka liczb całkowitych ma taką postać (więc ; ), wówczas spełnione jest równanie (1) (równoważne wyjściowemu), zaś liczby są względnie pierwsze. Wzór (2) przedstawia więc ogólne rozwiązanie postawionego zagadnienia.

Można sformułować tę odpowiedź w formie bardziej symetryczej, pisząc, że liczby po ewentualnej jednoczesnej zmianie znaku, są kwadratami trzech względnie pierwszych liczb całkowitych, z których jedna jest sumą dwóch pozostałych

Oznaczmy i rozważmy dowolne liczby całkowite Zauważmy, że jeśli te liczby mają wspólny dzielnik większy od to możemy każdą z nich przezeń podzielić, zachowując postać tezy zadania. Wobec tego możemy bez straty ogólności założyć, że

Jeżeli istnieje o tej własności, że to dla pewnego mamy Wówczas więc

Jeżeli żadna z liczb nie jest podzielna przez to reszty z dzielenia przez pewnych dwóch z nich należą do tego samego spośród zbiorów

Innymi słowy, istnieją takie że oraz lub W pierwszym przypadku mamy

w drugim zaś bezpośrednio

Skoro jest liczbą złożoną, to dla pewnych (niekoniecznie różnych) liczb nieparzystych większych od Niech

oraz

Wówczas

Jeżeli to

Jeżeli to skąd

Jeżeli oraz to

W końcu jeśli to

Niech będą liczbami o rozważanej własności. Wielomian o pierwiastkach

ma współczynniki nieujemne, co wynika z podanych założeń:

Skoro zatem dla Brak pierwiastków dodatnich oznacza, że

Na odwrót, gdy zadane nierówności są spełnione. Rozwiązaniem zadania są czwórki z