Zadanie ZM-1430
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: sierpień 2014
- Publikacja elektroniczna: 03-08-2014
Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych
liczba

jest całkowita.
Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych
liczba
jest całkowita.
Niech
będą liczbami dodatnimi i niech
oznacza sumę
wszystkich iloczynów różnych
liczb spośród
Udowodnić, że dla każdego naturalnego
spełniona jest
nierówność
Czy, mając do dyspozycji cztery kolory, można pokolorować każdą
liczbę rzeczywistą nieujemną na jeden z nich tak, aby żadne liczby
spełniające zależność
nie były tego samego
koloru?
Czy można pokolorować każdą nieujemną liczbę rzeczywistą na czarno
lub biało tak, aby żadne trzy różne liczby
spełniające
nie były tego samego koloru? Czy można pokolorować
w taki sposób zbiór liczb całkowitych nieujemnych?
Udowodnić, że jedynym rozwiązaniem równania
w zbiorze
liczb całkowitych jest
Zadanie 684 zaproponował pan Tomasz Ordowski.
Wykazać, że dla żadnej pary różnych liczb pierwszych
układ równań
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych
Zadanie 682 zaproponował pan Paweł Najman z Krakowa.
Liczby dodatnie spełniają warunek
Udowodnić, że
Udowodnić, że dla dodatnich liczb całkowitych
prawdziwa jest
nierówność
gdzie
to stała zdefiniowana np. jako
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej
zachodzi
podzielność
Zadanie 678 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Czy istnieją takie trzy różne liczby pierwsze
że liczba
dzieli się przez
liczba
dzieli się przez
zaś liczba
dzieli się przez
Rozważamy trójki liczb rzeczywistych
spełniające
warunki
![]() |
Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości iloczynu
Dane są liczby rzeczywiste
Niech
oznacza
ich średnią arytmetyczną. Udowodnić, że prawdziwa jest nierówność
![]() |
Udowodnić, że dowolna liczba rzeczywista
spełnia nierówność
![]() |
Czy istnieją cztery kolejne liczby całkowite dodatnie, których iloczyn,
powiększony o
jest kwadratem liczby całkowitej? Podać wszystkie
rozwiązania (jeśli istnieją).
Zadanie 672 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele par liczb wymiernych dodatnich
dla których liczba
jest całkowita.
Zadanie 670 zaproponował pan Paweł Kubit z Krakowa.
Udowodnić nierówność
dla liczb rzeczywistych
Udowodnić, że dla malejącego ciągu
liczb rzeczywistych
dodatnich prawdziwa jest nierówność
![]() |
Dana jest liczba pierwsza
taka, że
też jest pierwsza.
Na tablicy napisano liczby
W każdym kroku wybieramy
jedną z nich, powiedzmy
po czym zmazujemy wszystkie dzielniki
liczby
Udowodnić, że w ten sposób nigdy nie zmażemy
wszystkich liczb napisanych na tablicy.
Udowodnić, że dla dowolnej liczby dodatniej
i liczby całkowitej
prawdziwa jest nierówność
![]() |
Udowodnić, że równanie
nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych dodatnich.