- Narzędzia
- Obiekty
- Liczby naturalne , Równania
- Słowa kluczowe
- Kategoria
- Teoria liczb
Klub 44M - zadania V 2016»Zadanie 722
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania V 2016
- Publikacja w Delcie: maj 2016
- Publikacja elektroniczna: 1 maja 2016
- Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (106 KB)
-
Zadanie 722 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Rozwiązać równanie w liczbach całkowitych dodatnich
Rozwiązanie
Wykładniki nie mogą być równe, gdyż wówczas lewa strona równania byłaby potęgą dwójki. Przyjmijmy więc, że
i zapiszmy
gdzie
Równanie przybiera postać
z której wynika, że
Jeśli to
; dostajemy rozwiązanie
Jeśli to
(mod 4), skąd wniosek, że
jest liczbą parzystą:
Dostajemy równanie

Czynniki prawej strony muszą być potęgami dwójki; a skoro różnią się o 2, są to liczby 2 i 4. To znaczy, że czyli
co daje rozwiązanie
Uwzględniając możliwą zamianę ról i
widzimy, że równanie ma cztery rozwiązania
w liczbach całkowitych dodatnich: