Znając wzory 
i 
wyprowadzić wzór na 
Zauważyć, że 
Udowodnić, że dla liczb całkowitych 
zachodzi nierówność
 |
Udowodnić nierówność 
Dowieść, że 
dla naturalnych 
Zauważyć, że 
dla 
Ponadto dla 
nierówność jest ostra.
Wykazać, że dla naturalnych 
zachodzą następujące równości:
(a) Skorzystać z tożsamości (1) dla ciągu 
(b) Jak wyżej, dla 
Przyda się też równość 
Niech 
dla całkowitych dodatnich 
Udowodnić, że 
dla naturalnych 
Skorzystać z tożsamości (1 z artykułu) dla 
gdzie 
Niech 
oznacza liczbę dzielników liczby naturalnej 
zaś 
- jak w poprzednim zadaniu. Dowieść, że
 |
Rozważyć takie pary 
dla których 
gdzie 
Po sporządzeniu tabeli w kolumnach mamy kolejno 
par, a w wierszach 
par. Trzeba jeszcze zastosować nierówność 
Wykazać, że dla każdego naturalnego 
zachodzi równość
 |
W tabeli dla 
zaznaczamy takie pola 
dla których 
Wówczas w 
-tej kolumnie mamy 
zaznaczonych pól, zaś w 
-tym wierszu jest ich 
Niech 
będzie jak w zadaniu 6. Ustalmy liczbę rzeczywistą 
Dowieść, że dla wszystkich naturalnych 
zachodzi nierówność
 |
Ponieważ 
mamy 
Dla 
w polu 
tabeli umieszczamy liczbę 
jeśli 
w przeciwnym razie umieszczamy 0. Sumując kolumnami, otrzymamy lewą stronę dowodzonej nierówności, natomiast wierszami - liczbę mniejszą od prawej strony.
Liczby całkowite 
spełniają równości 
Udowodnić, że jeśli 
jest liczbą różnych dzielników pierwszych iloczynu 
to 
Niech 
będą różnymi dzielnikami pierwszymi iloczynu 
oraz niech 
oznacza wykładnik liczby 
w rozkładzie 
na czynniki pierwsze dla 
i 
W pole tabeli o współrzędnych 
wpisujemy 
Należy zaobserwować, że w każdym wierszu są różne liczby całkowite dodatnie, więc ich iloczyn wynosi co najmniej 
Ponadto iloczyny liczb w kolejnych kolumnach są równe 
Zadanie 796 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Dane są liczby całkowite 
przy czym 
jest liczbą parzystą. Udowodnić, że równanie
 |
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
dzieli się przez 
.
Zadanie 794 zaproponował pan Mikołaj Pater.
Dla liczb rzeczywistych 
przyjmijmy: 
Wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość wyrażenia
 |
dla liczb 
spełniających warunek 
oraz wyznaczyć wszystkie czwórki 
dla których to minimum jest osiągane.
Udowodnić, że 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
lub 
Liczby rzeczywiste 
spełniają równość 
Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia 
W równości (3) z artykułu przyjąć 
Są tu dwa przypadki do rozważania.
Liczby 
są rzeczywiste. Udowodnić, że jeśli
 |
to pewne dwie z liczb 
są równe.
Skorzystać z lematu dla liczb 
i 
Udowodnić nierówność pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:
 |
Przyjąć 
i 
w tożsamości.
Wyznaczyć wszystkie trójki liczb rzeczywistych 
które spełniają równości
 |
Zachodzi równość 
i dzięki tożsamości (1) z artykułu dochodzimy do wniosku, że wśród liczb 
występuje co najmniej jedna para liczb przeciwnych.
Liczby całkowite 
spełniają równość
 |
Dowieść, że 
Korzystając z (3) z artykułu, otrzymamy 
Wystarczy teraz wykazać, że co najmniej jedna z liczb 
jest parzysta. To wynika z równości danej w zadaniu.
Liczby 
są całkowite. Wykazać, że jeśli liczba 
dzieli się przez 3, to dzieli się ona również przez 9.
Na mocy tożsamości (3) z artykułu wystarczy wykazać, że 
wtedy i tylko wtedy, gdy 
To ma miejsce dokładnie wtedy, gdy liczby 
dają trzy jednakowe albo trzy różne reszty z dzielenia przez 3.
Udowodnić, że 
Uczynić to bez pomocy kalkulatora, wykonując przy tym możliwie najmniej rachunków.
Korzystając z równości (1) z artykułu, otrzymujemy
 |
Dalej można np. zauważyć, że 
Dana jest liczba pierwsza 
oraz takie liczby całkowite dodatnie 
że
 |
Dowieść, że co najmniej jedna z liczb 
jest równa 1.
W równości (1) z artykułu podstawić 
i 
gdzie 
jest jakąś liczbą całkowitą. Wywnioskować stąd, że 
więc któryś z czynników dzieli się przez 
Te czynniki są dodatnie i nie przekraczają 
więc któryś z nich jest równy 
spełniają podane równanie. Oznaczmy przez 
ich największy wspólny dzielnik; tak więc 
gdzie 
to liczby naturalne względnie pierwsze. Wstawiając to do równania i dzieląc stronami przez 
otrzymujemy
będzie dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby 
Wobec związku (1) 
jest też dzielnikiem sumy 
To znaczy, że 
(mod 
); a skoro 
jest liczbą parzystą, mamy stąd 
(mod 
), i dalej
nie dzieli się przez 
(bo 
zaś 
są względnie pierwsze); zatem 
nie ma innych dzielników pierwszych, znaczy to, że
i 
(względnie pierwsze) są obie nieparzyste; stąd 
(mod 4), bo 
jest liczbą parzystą. W równości (2) mamy więc 
skąd 
Wracamy do równania (1): 
To pokazuje, że 
(dla pewnego 
); przy tym 
czyli 
: liczba 
dzieli się przez 
dla pewnego 
Wówczas para 
jest rozwiązaniem zadanego równania:
(stale zakładamy, że wszystkie mianowniki są dodatnie). Dwukrotnie stosujemy nierówność między średnimi (po drodze przegrupowując czynniki):
i 
), dostajemy oszacowanie
Stąd i z analogicznego oszacowania dla trójek 
uzyskujemy kontynuację wcześniejszego ciągu nierówności:
z założenia). Znaleziona wartość zostaje osiągnięta, gdy wszystkie nierówności stają się równościami; więc gdy 
oraz
oraz 
Ponadto - oznaczając krótko 
(i podobnie 
) - musimy mieć równość 
(do takiej pary też była stosowana nierówność między średnimi) - czyli 
Wraz z równością 
daje to alternatywę: 
lub 
Dla czwórek 
oraz 
wyznaczone oszacowanie 
przechodzi w równość. Zatem szukane minimum wynosi 