Tag: Liczby

Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 1
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Znając wzory $1 +2 + ... +n = n -n+1- 2$ i $12 + 22 + ...+ n2 = n n+1-2n+1-, 6$ wyprowadzić wzór na $3 3 3 1 + 2 + ...+ n .$

Wskazówka

Zauważyć, że $|(1+ k)3 + (n − k)3 = 3(n +1)k2 −3(n2 − 1)k+ n3 −1.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 2
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Udowodnić, że dla liczb całkowitych $|b > a > 0$ zachodzi nierówność

$1- -1--- --1-- 1- b−-a- a + a+ 1 +...+ b − 1 + b > 2 ⋅b+ a .$

Wskazówka

Udowodnić nierówność $|-1-+ -1-⩾ -4-. a+k b− k a+b$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 3
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Dowieść, że $--- |n√n! > √ n-$ dla naturalnych $n ⩾ 3.$

Wskazówka

Zauważyć, że $|(1+ k)(n − k)⩾ n$ dla $|k = 0,1,2,...,n − 1.$ Ponadto dla $|k≠ 0,n − 1$ nierówność jest ostra.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 4
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Wykazać, że dla naturalnych $n$ zachodzą następujące równości:

(a)

$n ⋅20 + (n − 1) ⋅21 + (n −2) ⋅22 + ...+ 1⋅2n−1 = 2n+1− n − 2,$

(b)

$2 2 2 1 ⋅n + 3 ⋅(n − 1)+ 5⋅(n − 2)+ ...+ (2n − 1) ⋅1 = 1 + 2 + ...+n .$

Wskazówka

(a) Skorzystać z tożsamości (1) dla ciągu $| k−1 ak = 2 .$

(b) Jak wyżej, dla $ak = 2k −1.$ Przyda się też równość $| 2 1+ 3+ 5+ ...+ (2k −1) = k .$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 5
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Niech $H$ dla całkowitych dodatnich $k.$ Udowodnić, że $|H1$ dla naturalnych $|n⩾ 2.$

Wskazówka

Skorzystać z tożsamości (1 z artykułu) dla $a = 1, k k$ gdzie $k ∈{1,2,...,n −1}.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 6
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Niech $d(k)$ oznacza liczbę dzielników liczby naturalnej $k,$ zaś $H$ - jak w poprzednim zadaniu. Dowieść, że

$Hn$

Wskazówka

Rozważyć takie pary $| (a,b),$ dla których $| b a,$ gdzie $| a,b ∈{1,2,...,n}.$ Po sporządzeniu tabeli w kolumnach mamy kolejno $d(1),d(2), ...,d(n)$ par, a w wierszach $⌊n/1⌋,⌊n/2⌋,...,⌊n/n⌋$ par. Trzeba jeszcze zastosować nierówność $x − 1 < ⌊x⌋⩽ x.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 7
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Wykazać, że dla każdego naturalnego $|n ⩾2$ zachodzi równość

$√2-- √3-- √n-- ⌊ n ⌋+ ⌊ n ⌋+ ...+⌊ n ⌋= ⌊log2 n⌋+ ⌊log3n⌋ +...+ ⌊lognn⌋.$

Wskazówka

W tabeli dla $a,b ∈ {2,3,...,n}$ zaznaczamy takie pola $(a, b),$ dla których $|ab⩽ n.$ Wówczas w $|a$ -tej kolumnie mamy $⌊logan ⌋− 1$ zaznaczonych pól, zaś w $b$ -tym wierszu jest ich $√ -- ⌊ bn ⌋− 1.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 8
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Niech $|d(k)$ będzie jak w zadaniu 6. Ustalmy liczbę rzeczywistą $|x > 1.$ Dowieść, że dla wszystkich naturalnych $n ⩾ 1$ zachodzi nierówność

$d(1)-+ d(2)-+...+ d(n)- < --1--+ --1---+ ...+ --1---. x1 x2 xn x1− 1 x2 − 1 xn− 1$

Wskazówka

Ponieważ $x > 1,$ mamy $-1-- 1- -1- |xk−1 = xk + x2k +...$ Dla $|a,b ∈{1,2,...,n}$ w polu $|(a,b)$ tabeli umieszczamy liczbę $|1xa-,$ jeśli $|b a,$ w przeciwnym razie umieszczamy 0. Sumując kolumnami, otrzymamy lewą stronę dowodzonej nierówności, natomiast wierszami - liczbę mniejszą od prawej strony.
Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne, Nierówności, Podzielność

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 9
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Liczby całkowite $a ,a ,...,a 1 2 n$ spełniają równości $a < a < ... < a < 2a . 1 2 n 1$ Udowodnić, że jeśli $|m$ jest liczbą różnych dzielników pierwszych iloczynu $|a1a2 ...an,$ to $(a1a2...an)m ⩾ (n!)m.$

Wskazówka

Niech $|p1,p2,...,pm$ będą różnymi dzielnikami pierwszymi iloczynu $|a1a2 ...an$ oraz niech $|wi, j$ oznacza wykładnik liczby $|p j$ w rozkładzie $ai$ na czynniki pierwsze dla $i∈ {1,2,...,n}$ i $j ∈{1,2,...,m}.$ W pole tabeli o współrzędnych $(i, j)$ wpisujemy $|a /pwi;.j i j$ Należy zaobserwować, że w każdym wierszu są różne liczby całkowite dodatnie, więc ich iloczyn wynosi co najmniej $n!.$ Ponadto iloczyny liczb w kolejnych kolumnach są równe $|am1 ,am2 ,...,amn .$
Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne, Podzielność, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Teoria liczb

Klub 44M - zadania II 2020»Zadanie 796
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania II 2020

Publikacja w Delcie: luty 2020

Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (496 KB)

Zadanie 796 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.
Dane są liczby całkowite $m ,$ przy czym $m$ jest liczbą parzystą. Udowodnić, że równanie

$m m n x +y = (x + y)$

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych dodatnich $x,y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n − 1$ dzieli się przez $m$ .

Rozwiązanie

Załóżmy, że dodatnie liczby całkowite $x,y$ spełniają podane równanie. Oznaczmy przez $d$ ich największy wspólny dzielnik; tak więc $|x = ud, y = vd,$ gdzie $u,v$ to liczby naturalne względnie pierwsze. Wstawiając to do równania i dzieląc stronami przez $|dn,$ otrzymujemy

$dm (um+ vm) = (u + v)n.$ (1)

Niech $|p$ będzie dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby $um+ vm.$ Wobec związku (1) $p$ jest też dzielnikiem sumy $|u+ v.$ To znaczy, że $u ≡− v$ (mod $|p$ ); a skoro $|m$ jest liczbą parzystą, mamy stąd $umvm | ≡$ (mod $p |$ ), i dalej

$2umu≡m+ vm0≡ (mod p).$

Liczba $u$ nie dzieli się przez $p$ (bo $p u+ v,$ zaś $u,v$ są względnie pierwsze); zatem $p = 2.$

Skoro $m m u + v$ nie ma innych dzielników pierwszych, znaczy to, że

$um+ vm= 2l dla pewnegol ∈ N.$ (2)

Zatem liczby $u$ i $v$ (względnie pierwsze) są obie nieparzyste; stąd $m m |u v≡ 1≡$ (mod 4), bo $m$ jest liczbą parzystą. W równości (2) mamy więc $|l = 1,$ skąd $u = v = 1.$ Wracamy do równania (1): $dm ⋅2 = 2n.$ To pokazuje, że $d = 2k$ (dla pewnego $|k ∈N$ ); przy tym $|2k m ⋅2 = 2n,$ czyli $|k(m$ : liczba $n − 1$ dzieli się przez $|m .$

Na odwrót, załóżmy, że $|n −1 = k(m$ dla pewnego $k.$ Wówczas para $x = y = 2k$ jest rozwiązaniem zadanego równania:

$m m km kn+n−1 n k+1 n x +y = 2 ⋅2 = 2 ⋅2 = 2 = (x + y) .$

Uzyskaliśmy żądaną równoważność.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Klub 44M - zadania I 2020»Zadanie 794
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania I 2020

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (367 KB)

Zadanie 794 zaproponował pan Mikołaj Pater.
Dla liczb rzeczywistych $x,y,z ⩾ 0$ przyjmijmy: $----------- |R(x,y,z) = √ x2 + y2 +z2 ,Q(x, .$ Wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość wyrażenia

$1 1 1 ------------------+ -------------------+ ------------------- R(a,b, c)Q(b, R(b, c,d)Q(a, R(a, c,d)Q(a,$

dla liczb $|a,b,c,d ⩾ 0$ spełniających warunek $|2a+ 2b + 3c+ 2d ⩽ 6$ oraz wyznaczyć wszystkie czwórki $(a,b,c,d),$ dla których to minimum jest osiągane.

Rozwiązanie

Rozważane wyrażenie oznaczmy literą $W$ (stale zakładamy, że wszystkie mianowniki są dodatnie). Dwukrotnie stosujemy nierówność między średnimi (po drodze przegrupowując czynniki):

$pict$

Ponownie używając nierówności między średnimi (wartości $|R2$ i $2Q2$ ), dostajemy oszacowanie

$R(a,b,c)Q(a,$

czyli $√ ------------------- | R(a, b,c)Q(a, ⩽ 2−3~4(a + b+ c).$ Stąd i z analogicznego oszacowania dla trójek $(b,c,d),(a, c,d)$ uzyskujemy kontynuację wcześniejszego ciągu nierówności:

$3 ⋅23~4 2 33 ⋅23~2 3 W⩾ 3 (-----------------------------------) = ------------------2 ⩾ √--- (a + b+ c)+ (b + c+ d) +(a + c+ d) (2a + 2b +3c + 2d) 2$

(bo $2a + 2b +3c + 2d⩽ 6$ z założenia). Znaleziona wartość zostaje osiągnięta, gdy wszystkie nierówności stają się równościami; więc gdy $|2a+ 2b + 3c+ 2d = 6$ oraz

$√ ------------------- R(a,b,c)Q(a, = 2−3~4(a + b +c), √ ------------------- R(b,c,d)Q(b, = 2−3~4(b+ c+ d), √ ------------------- R(a,c,d)Q(a, = 2 −3~4(a+ c +d),$
przy czym te trzy wartości też muszą być równe(!). To wymusza równości $a = b = d$ oraz $6a + 3c = 6.$ Ponadto - oznaczając krótko $|R(a,b,c) = R(b,c,d) = R(a, c,d) = R$ (i podobnie $Q$ ) - musimy mieć równość $R2 = 2Q2$ (do takiej pary też była stosowana nierówność między średnimi) - czyli $2 2 2 2a | +c = 4ac+ 2a .$ Wraz z równością $|6a+ 3c = 6$ daje to alternatywę: $a = 1,c = 0$ lub $a = 13,c = 43.$ Dla czwórek $|(a,b,c,d) = (1,1,0,1)$ oraz $( 1, 1, 4 , 1) 3 3 3 3$ wyznaczone oszacowanie $√ -- |W⩾ 3/ 2$ przechodzi w równość. Zatem szukane minimum wynosi $√-- |3/ 2 .$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 1
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Udowodnić, że $a3 +b3 + c3 = 3abc$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a + b +c = 0$ lub $|a = b = c.$

Wskazówka

Wykorzystać tożsamość (3) z artykułu i najważniejszą nierówność na świecie (zob. kącik nr 5).
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 2
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Liczby rzeczywiste $a,b$ spełniają równość $a3 + b3 + 1 = 3ab.$ Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia $|a +b.$

Wskazówka

W równości (3) z artykułu przyjąć $c = 1.$ Są tu dwa przypadki do rozważania.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 3
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Liczby $x,y,z$ są rzeczywiste. Udowodnić, że jeśli

$3√----- 3√----- 3√----- y − z + z − x + x − y = 0,$

to pewne dwie z liczb $x,y, z$ są równe.

Wskazówka

Skorzystać z lematu dla liczb $√3----- √3----- a = y −z ,b = z −x$ i $√3----- c = x − y.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 4
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Udowodnić nierówność pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:

$3√---- x-+y-+-z- xyz ⩽ 3 dla x,y,z > 0.$

Wskazówka

Przyjąć $√-- √-- a = 3x ,b = 3y$ i $√ -- |c = 3z$ w tożsamości.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 6
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Wyznaczyć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $(x, y,z),$ które spełniają równości

$2 2 2 3 3 3 x + y +z = x + y +z = x + y + z = 1.$

Wskazówka

Zachodzi równość $(x + y +z)3 = x3 + y3 + z3$ i dzięki tożsamości (1) z artykułu dochodzimy do wniosku, że wśród liczb $x, y,z$ występuje co najmniej jedna para liczb przeciwnych.
Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 7
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Liczby całkowite $a,b, c$ spełniają równość

$2 2 2 (a− b) + (b − c) + (c− a) = abc.$

Dowieść, że $|a+ b +c + 6 a3 + b3 + c3.$

Wskazówka

Korzystając z (3) z artykułu, otrzymamy $| 3 3 3 1 a + b + c = 2 abc ⋅(a + b+ c +6).$ Wystarczy teraz wykazać, że co najmniej jedna z liczb $a,b,c$ jest parzysta. To wynika z równości danej w zadaniu.
Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne, Podzielność, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 8
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Liczby $a,b,c$ są całkowite. Wykazać, że jeśli liczba $a3 + b3 +c3 −3abc$ dzieli się przez 3, to dzieli się ona również przez 9.

Wskazówka

Na mocy tożsamości (3) z artykułu wystarczy wykazać, że $|3 a + b+ c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 2 2 3 (b− c) + (c −a) + (a− b) .$ To ma miejsce dokładnie wtedy, gdy liczby $a,b,c$ dają trzy jednakowe albo trzy różne reszty z dzielenia przez 3.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 9
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Udowodnić, że $3273 +2983 < 3953.$ Uczynić to bez pomocy kalkulatora, wykonując przy tym możliwie najmniej rachunków.

Wskazówka

Korzystając z równości (1) z artykułu, otrzymujemy

$3 3 3 3 327 + 298 − 395 = 230 − 3 ⋅625 ⋅68 ⋅97 = 500(46 ⋅529− 255 ⋅97).$

Dalej można np. zauważyć, że $255 ⋅97 = 46 ⋅510 + 255⋅5.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby pierwsze, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 10
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Dana jest liczba pierwsza $p > 3$ oraz takie liczby całkowite dodatnie $|a,b,c,$ że

$3 3 3 a+ b +c = p +1 oraz p a + b + c − 1.$

Dowieść, że co najmniej jedna z liczb $a,b, c$ jest równa 1.

Wskazówka

W równości (1) z artykułu podstawić $a +b + c = p + 1$ i $a3 + b3 + c3 = kp + 1,$ gdzie $k$ jest jakąś liczbą całkowitą. Wywnioskować stąd, że $|p (b + c)(c+ a)(a + b),$ więc któryś z czynników dzieli się przez $p.$ Te czynniki są dodatnie i nie przekraczają $p,$ więc któryś z nich jest równy $|p.$