Delta mi!

Bez straty ogólności przyjmijmy, że

Zauważmy, że w każdej z par

jest co najmniej jedna liczba spoza zbioru Rzeczywiście, gdyby w pewnej parze obie liczby należały do to ich suma także, co przeczy definicji Z drugiej strony liczb spoza które są mniejsze od jest dokładnie Stąd a zatem Sumując te nierówności dla uzyskujemy

Mnożąc daną równość stronami przez uzyskujemy

skąd

Jeżeli oraz dla pewnych dodatnich liczb całkowitych to

Liczba ma trzy przedstawienia w postaci iloczynu dwóch dodatnich liczb całkowitych:

co wobec prowadzi do par : i w konsekwencji do lub Bezpośrednio sprawdzamy, że każda z tych liczb ma żądaną własność.

Wystarczy udowodnić, że nierówność

zachodzi dla każdego spośród możliwych wyborów znaków. Rzeczywiście, lewą stronę powyższej nierówności można zapisać w postaci

co jest liczbą nieujemną jako suma kwadratów liczb rzeczywistych. Pozostaje zauważyć, że liczba ta jest ściśle dodatnia, gdyż równości oraz (dla i pewnych wyborów znaków ) nie mogą wszystkie zachodzić jednocześnie.

Istnieje. Przykład Autora (W. Bednarek): ciąg

Bierzemy dowolnie utworzoną sumę skończenie wielu wyrazów, o numerach :

Suma w dużym nawiasie jest liczbą nieparzystą (jej pierwszy składnik to jedynka). Gdyby dla pewnej liczby naturalnej zachodziła równość wówczas pisząc w postaci ( nieparzyste) i przyrównując potęgi dwójki w i w uzyskalibyśmy równość ; oczywista sprzeczność.

Pozostaje zauważyć, że ciąg o wyrazach jest ograniczony.

Oznaczmy przez największy wspólny dzielnik liczb i Ponieważ liczby i są względnie pierwsze, a ich suma jest podzielna przez więc liczba jest względnie pierwsza z liczbami i Ponadto liczba jest podzielna przez Stąd wynika, że czyli

Korzystając z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi uzyskujemy

skąd teza.

Wykażemy, że każda dodatnia liczba wymierna ma przedstawienie wymaganej postaci. Weźmy dowolną liczbę wymierną

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy ; tak więc W tym przypadku wystarczy przyjąć

wówczas

podobnie wyrażamy i otrzymujemy

W przypadku ogólnym, gdy jest dowolną liczbą wymierną dodatnią, znajdujemy liczbę wymierną taką, że W myśl konkluzji poprzedniego przypadku liczba daje się zapisać jako ułamek

Stąd dostajemy żądane przedstawienie liczby :

Skoro dla pewnego naturalnego to Stąd a wtedy

czyli Z drugiej strony

Szukaną liczbą jest więc 998.

Rozważmy dowolny łuk danego okręgu zawierający wszystkie wyróżnione punkty i oznaczmy kolejne liczby przyporządkowane wyróżnionym punktom tego łuku przez Dla każdej liczby zdefiniujmy -wyrazowy ciąg binarny następująco: jeżeli pośród liczb wartość występuje parzystą liczbę razy oraz w przeciwnym przypadku.

Ponieważ jest tylko binarnych ciągów długości więc albo ciągi są parami różne i dla pewnego albo dla pewnych W pierwszym przypadku iloczyn liczb jest kwadratem liczby całkowitej, w drugim zaś - iloczyn liczb jest kwadratem liczby całkowitej.

Każdy ciąg dodatnich liczb całkowitych

których suma jest równa nazwiemy kompozycją liczby

Zauważmy, że -elementowe kompozycje liczby pozostają we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z -elementowymi podzbiorami zbioru Każdej takiej kompozycji możemy przypisać zbiór

i odwrotnie: każdy podzbiór, którego elementy są wypisane w porządku rosnącym, wyznacza w powyższy sposób pewną kompozycję. Zatem liczba wszystkich kompozycji liczby jest równa liczbie podzbiorów zbioru -elementowego, czyli

Określmy funkcję która przyporządkowuje każdej kompozycji liczby pewną kompozycję następująco: jeżeli to

a jeżeli to

Zauważmy, że dla każdej kompozycji więc zadaje podział zbioru wszystkich kompozycji liczby na pary. Wprost z definicji wynika, że kompozycje w obrębie każdej pary różnią się parzystością liczby parzystych wyrazów. To oznacza, że liczba kompozycji zawierających parzystą liczbę liczb parzystych jest równa połowie liczby wszystkich kompozycji, czyli

Wykażemy, że odtworzenie liczb jest możliwe. Zauważmy, że jeżeli oraz to

wobec czego To oznacza, że

więc najmniejsza z czterech liczb napisanych na kartce jest równa ; oznaczmy tę liczbę przez Pozostałe liczby oznaczmy przez i przyjmijmy (bez straty ogólności, z uwagi na symetrię ról liczb z tablicy), że Wówczas

a skoro liczby są większe od to

Podany warunek przepisujemy równoważnie jako Niech będzie zbiorem odwrotności wszystkich liczb za zbioru Dowolne dwa elementy zbioru są więc oddalone o co najmniej Zatem w każdym spośród przedziałów

może być co najwyżej jeden element zbioru Pozostałe liczby dodatnie tworzą przedział w którym są jedynie odwrotności liczb naturalnych To pokazuje, że zbiór (więc i zbiór ) może liczyć co najwyżej elementów.

Odpowiedź na drugie pytanie z zadania jest przecząca: na przykład dla nie istnieje -elementowy zbiór o podanej własności. Jak w przypadku ogólnym, zauważamy, że w każdym z przedziałów może być tylko jeden element zbioru Dalej, odwrotności liczb naturalnych, leżące w przedziale rozbijamy na pięć podzbiorów:

- każdy z nich ma średnicę mniejszą niż więc zawiera co najwyżej jeden element zbioru No i zostają jeszcze ułamki Liczność zbioru (więc i ) nie przekracza czyli 16.

Niech oznacza lewą stronę podanego równania, pomnożoną przez i niech oznacza prawą stronę tego równania, pomnożoną przez Są to wielomiany czterech zmiennych, jednorodne, czwartego stopnia. Skontrolujmy ich wartości, gdy np. :

te wartości są równe. To znaczy, że wielomian dzieli się przez dwumian Analogicznie (wobec niezmienniczości przy cyklicznym przesunięciu zmiennych) dzieli się przez dwumiany Stąd wniosek, że dzieli się przez iloczyn tych dwumianów, a iloraz jest pewną stałą. Biorąc dowolne różne liczby stwierdzamy, że ta stała to 1. Tak więc

(oczywiście można było tę tożsamość sprawdzić wprost, podstawiając wyrażenie określające rozważane działanie, przenosząc wszystko na jedną stronę i pracowicie przekształcając).

Dane w zadaniu równanie nie jest spełnione dla żadnej czwórki różnych liczb jest zaś spełnione dla wielu czwórek utworzonych z trzech różnych liczb (z jednym powtórzeniem).

Liczba pierwsza jest sumą dwóch kwadratów (jedno z dobrze znanych twierdzeń Fermata): ; liczby całkowite muszą być względnie pierwsze. Istnieją wobec tego liczby całkowite dla których przy czym (łatwe uzasadnienie przez algorytm Euklidesa).

Wykażemy, że liczba ma własności, o które chodzi w zadaniu. Mamy bowiem oszacowanie oraz równość

Widać z niej, że W konsekwencji ; jest to niewątpliwie kwadrat liczby całkowitej dodatniej.

Przeprowadzimy dowód nie wprost.

Przypuśćmy, że jest nieparzystą liczbą pierwszą. Wówczas z małego twierdzenia Fermata wynika, że liczba jest podzielna przez a zatem również

jest liczbą podzielną przez To przeczy pierwszości liczby gdyż

Podobnie, jeżeli jest nieparzystą liczbą pierwszą, to z małego twierdzenia Fermata wynika, że liczba jest podzielna przez Wobec tego również liczba

jest podzielna przez ale na mocy nierówności prawdziwej dla

Ustalmy liczby o sumie równej 1. Funkcja jest wypukła w przedziale Stosujemy do niej nierówność Jensena dla trójki punktów z wagami :

Można przyjąć, że oraz Wówczas oraz

W ostatnim szacowaniu pierwsza nierówność staje się równością tylko dla zaś druga - tylko dla Stąd wniosek, że

Gdyby dopuścić trójki liczb wśród których jedna jest zerem, rozważana suma nadal miałaby sens oraz przyjęłaby wartość 4 dla Przy założeniu, że wartość 4 jest (jak widać) nieosiągalna; ale jest granicą badanej sumy np. dla gdy Jest więc jej kresem dolnym.

Niech będzie funkcją, spełniającą postawione warunki, i przyjmijmy, że funkcja nie jest stała. Istnieją więc liczby dla których W drugim z warunków, podanych w zadaniu, przyjmujemy i tworzymy ciąg arytmetyczny Skoro zatem (dla wszystkich ). Jednocześnie czyli

(1)

Analogicznie

(2)

W myśl pierwszego z podanych warunków,

Po lewej stronie wstawiamy wyrażenia (1), (2) i dostajemy nierówności

(3)

Dla dużych wyrażenia ujęte w symbol wartości bezwzględnej mają wartość dodatnią (bo ). Można więc opuścić moduły. Ale zależność (3) - po skasowaniu modułów - redukuje się do postaci ; sprzeczność.

W konsekwencji funkcja musi być stała. Jasne, że każda funkcja postaci spełnia wymagane warunki.

Dla każdego jest dokładnie pięć możliwości opisujących, które z liczb należą do podzbioru spełniającego warunek zadania. Mianowicie:

a.

żadna z nich nie należy;

b.

tylko należy;

c.

tylko należy;

d.

tylko należy;

e.

liczby oraz należą (natomiast nie należy).

Ponieważ dla różnych możliwości te są niezależne, to liczba szukanych pozdbiorów wynosi