Delta mi!

Zdarza się czasem, że zachód słońca i pusta, piaszczysta plaża zachwycają nas, kiedy patrzymy na nie, spacerując brzegiem morza, jednak zamknięte w martwe ramy zdjęcia przywodzą na myśl co najwyżej słowo „kicz”. Ta historia, gdyby jeden z hollyłódzkich reżyserów zdecydował się nakręcić film na jej podstawie, wydałaby się z pewnością banalna. Tymczasem napisało ją życie.

Trzy kółeczka łatwo ułożyć w trójkąt foremny (czyli równoboczny), cztery w czworokąt foremny (czyli kwadrat), pięć w pięciokąt foremny itd. Można więc 3 uważać za liczbę trójkątną, cztery za czworokątną, pięć za pięciokątną itd. Rysunki poniżej pokazują, jak można, rysując kropki, określić inne liczby wielokątne.

13 i 14 kwietnia odbyły się zawody finałowe LXII OLimpiady Matematycznej. Każdego dnia zawodów 139 uczniów z całej Polski, przez trzysta minut, rozwiązywało trzy zadania. Wszystkie bezbłędnie rozwiązał Filip Borowiec z Kielc, a Maciej Dulęba z Wrocławia i Damian Orlef z Zabrza rozwiązali po pięć i pół.

Weźmy długi pasek papieru i złóżmy go na pół. Następnie, nie rozkładając, złóżmy go w tę samą stronę jeszcze dwa razy. W końcu, rozprostujmy złożenia tak, by papier zginał się pod kątem  Otrzymamy obiekt jak na rysunku 1.

Pod koniec XIX wieku w matematyce zaczęły pojawiać się niespotykane wcześniej obiekty geometryczne, charakteryzujące się skomplikowanym kształtem i zjawiskiem „samopodobieństwa” (podobieństwa dowolnie małych fragmentów do całości zbioru). Tego rodzaju zbiory nazywamy dziś fraktalami. Aby lepiej opisać geometrię takich obiektów, wykorzystuje się różne odmiany pojęcia wymiaru, zwane czasami wymiarami fraktalnymi.

Kto coś słyszał o fraktalach, zwykle potrafi wymienić dwie ich cechy charakterystyczne: figury te mają skomplikowany kształt (bardziej wtajemniczeni mówią o ułamkowym wymiarze; kto chce być bardziej wtajemniczony, przeczyta artykuł Krzysztofa Barańskiego na stronie 4) i wykazują samopodobieństwo (bardziej wtajemniczeni umieją powiedzieć, jakiego rodzaju: geometryczne, afiniczne, rzutowe, a może stochastyczne). Mówiąc ogólnie, cechy te ma również wiele obiektów spotykanych w świecie, a to otwiera szerokie pole do zastosowań fraktali w grafice komputerowej. Jej celem jest przecież naśladowanie rzeczywistości.

Czy funkcje fraktalne mają cokolwiek wspólnego z opisem zjawisk w rzeczywistości? Okazuje się, że tak. Funkcje fraktalne mogą opisywać stany kwantowe prostych obiektów, np. cząstki w pudełku...

Zróbmy razem kilka doświadczeń myślowych z użyciem kwadratowej kartki papieru i nożyczek. Doświadczenia będą bardzo proste, ale ich wynik – wycinanki (bo cóż by innego) – będą całkiem zaskakujące.

W poprzednim numerze opisaliśmy prostą grę, w której trzeba było dokonać dwukrotnie właściwego wyboru jednej z dwóch możliwości, by zmaksymalizować średnią wygraną. Krótko mówiąc, był to dynamiczny problem decyzyjny. Zademonstrowaliśmy też trzy z wielu możliwych strategii, w tym optymalną (oczywiście lisa).

W 1762 roku Jean Jacques Rousseau napisał: „Polujący na jelenia myśliwi są w pełni świadomi, że aby go upolować, muszą być lojalni wobec siebie i pozostać na swoich posterunkach. Jeżeli jednak zając przebiegnie w pobliżu jednego z nich, nie ma wątpliwości, że myśliwy ten ruszy za pewną zdobyczą, doprowadzając do fiaska polowanie na jelenia.” Przetłumaczmy to na język współczesnej teorii gier...

W 2005 roku Nagrodę Nobla z ekonomii otrzymali za „przyczynienie się do zwiększenia naszego rozumienia mechanizmów konfliktu i kooperacji przez analizę teoriogrową” profesorowie Robert J. Aumann (Uniwersytet Hebrajski w Jerozolimie) oraz Thomas C. Schelling (Uniwersytet Maryland i Uniwersytet Harwarda).

Hex jest jedną z najprostszych i jednocześnie jedną z najciekawszych z matematycznego punktu widzenia gier planszowych. Rozgrywka heksa jest prowadzona na romboidalnej planszy złożonej z sześciokątnych pól. Najbardziej typowe są plansze  jak na rysunku, ale można grać na dowolnie dużej planszy.

W pewnym kraju żyło bardzo wielu mędrców. Któregoś dnia groźny król postanowił przekonać się, czy rzeczywiście zasługują oni na to zaszczytne miano i zapowiedział, że czeka ich trudna próba. Zebrał mędrców w swej komnacie i przedstawił im poniższe zasady.

Czarownica  w punkcie  na rozstaju dróg mówi do lisa , wołu i konika polnego : „Pójdziesz w prawo, dostaniesz pół złotego, ...

W zawodach II stopnia LXII Olimpiady Matematycznej wzięło udział 599 uczniów z całej Polski. Spośród nich do finału zakwalifikowano 139 osób.

Richard Feynman, laureat Nagrody Nobla z fizyki, miał bardzo krytyczny stosunek do rozważań czysto teoretycznych. Wspomina o tym Kai Lai Chung, wybitny probabilista amerykański, w książce Green, Brown and Probability.

Obejrzeć płaszczyznę rzutową wcale nie jest łatwo. Z bliska, kiedy widzimy tylko mały fragment, wygląda całkiem jak zwykła płaszczyzna, więc to nic ciekawego. A gdybyśmy chcieli widzieć całą naraz, to musielibyśmy umieć widzieć w przestrzeni przynajmniej czterowymiarowej, bo w naszych trzech wymiarach po prostu nie da się jej porządnie ułożyć. Jeśli nie wierzysz, Czytelniku, wykonaj dający się wziąć w rękę, krawiecki model płaszczyzny rzutowej.

Pierwszy "dowód" twierdzenia o czterech barwach pojawił się w roku 1879. Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Był to zapewne najsłynniejszy "fałszywy dowód" w całej historii matematyki...