Delta mi!

- Z tymi ułamkami to zupełnie nic nie wiadomo - narzekał po lekcji matematyki Janek. - Na przyklad

W artykule tym pragnę omówić pewne pojęcia, należące całkowicie do zakresu geometrii elementarnej, a dotąd niemal wcale nie zbadane. Jak wiadomo, dwa wielokąty i nazywamy równoważnymi, wyrażając to wzorem: jezeli dają się one podzielić na jednakową ilość wielokątów odpowiednio przystających...

Rozważamy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia Wiadomo, że wielomian taki ma pierwiastków zespolonych; niektóre z nich (czasami wszystkie) są, być może, rzeczywiste. Twierdzenie Sturma pozwala obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu należących do wybranego przedziału Oczywiście, odpowiedź na to pytanie możemy uzyskać, stosując metodę badania funkcji wielomianowej znaną z analizy matematycznej. Metoda Sturma jest czysto algebraiczna, nie stosuje metod analizy matematycznej.

Znana łamigłówka wieże Hanoi ma następujące reguły...

Taka sobie niewinnie wyglądająca bryłka. Ot, powstała z obrotu kwadratu dookoła jego przekątnej, przecięcia tego, co powstało, na dwie identyczne części (wzdłuż płaszczyzny kwadratu), przekręceniu połowy o i doklejeniu do drugiej części (czekającej w tym czasie w bezruchu). Szczęśliwa całość - sferostożek (ang. sphericon).

Są trzy symetryczne monety...

Każda nauka ścisła ma własne metody potwierdzania swoich tez. Dla większości z nich weryfikacja twierdzeń polega na konfrontacji z rzeczywistością. Matematyka jest jedyną z tych nauk, w której owa rzeczywistość nie jest ostateczną (ani jakąkolwiek) metodą sprawdzania zdań aspirujących do wzbogacenia zasobu wiedzy matematycznej. Weryfikatorem twierdzeń jest dowód. Mowa tu o tzw. matematyce czystej lub teoretycznej; zauważmy jednak, że fizyczna rzeczywistość weryfikuje stosowalność instrumentów matematycznych, nie ich wartość matematyczną.

Jeśli przy definiowaniu wielokąta zrezygnujemy z warunku, aby łamana tworząca go była zwyczajna, otrzymamy nową klasę wielokątów foremnych, tzw. gwiaździstych.

Liczby naturalne są niewątpliwie naturalne. Liczby całkowite niewątpliwie zasługują na nazwę całkowite. Liczby wymierne należałoby możne nazywać liczbami mierzącymi lub wymierzającymi, bowiem wszystkie pomiary wykonujemy w praktyce w liczbach wymiernych, zresztą nie tylko pomiary: wszelkie rachunki na konkretnych liczbach wykonywane są w praktyce wyłącznie w obrębie liczb wymiernych. Po co więc wprowadzać szersze, lecz znacznie trudniejsze pojęcie liczb rzeczywistych, skoro liczby wymierne wystarczają w rachunkach? Definicja liczb rzeczywistych nastręcza zawsze pewne trudności, wskutek tego w podręcznikach szkolnych jest raczej przemycana, niż precyzyjnie formułowana.

W ostatnich kilkunastu latach na pograniczu geometrii różniczkowej i teorii równań różniczkowych rozrósł się nowy, pokaźny dział matematyki, poświęcony badaniom krzywych i powierzchni, które poruszają się zgodnie z jakimś określonym przepisem, zmieniając wraz z upływem czasu swój charakter i własności. Różne punkty mogą przy tym poruszać się z różnymi prędkościami, wyznaczonymi przez rozmaite geometryczne charakterystyki krzywej czy powierzchni...

Poniższe zadania łączy to, że do rozwiązania każdego z nich można użyć pewnego Bardzo Znanego Twierdzenia, udowodnionego całkiem niedawno. Oczywiście to, że można strzelać z armaty do muchy nie oznacza, że zawsze trzeba...

Nie ma słynniejszego twierdzenia niż Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF) i tego nie zamierzam tu dowodzić. Zacznę po prostu od sformułowania faktu, który od 1995 roku jest rzeczywiście twierdzeniem za sprawą Andrew Wilesa, a wcześniej przez około trzy i pół wieku był hipotezą zajmującą głowy największych matematyków i rzesze amatorów...

Rozpatrzmy dowolny trójkąt oraz cztery kwadraty zbudowane w sposób przedstawiony na rysunku 1. Wówczas zaznaczone kolorem trzy odcinki, łączące odpowiednie wierzchołki kwadratów oraz środek najniższego kwadratu, przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 44 w książce 100 zadań Hugona Steinhausa dotyczy zamkniętych dróg po krawędziach wielościanu foremnego, które przechodzą dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek, czyli złożonych z krawędzi cykli Hamiltona. Chodzi o to, aby znaleźć wszystkie kształty takich cykli i policzyć, ile ich jest (z dokładnością do położenia) dla każdego wielościanu foremnego.

Rozważamy wielomian stopnia o współczynnikach rzeczywistych...

Tym razem o obrotach na płaszczyźnie...

W 1641 roku ukazały się Centrobaryca Paula Guldina, a w nich twierdzenie znane dziś jako reguły Guldina...

Filozof może się zadowolić tym, że "wie, że nic nie wie". Fizyk zaś potrzebuje wiedzieć, ile nie wie...

Niedawno podczas rozmowy z kolegami - młodymi matematykami i fizykami - zorientowałem się, że dla nich informacja o tym, jak wyglądają wszystkie możliwe ruchy obiektu materialnego w trójwymiarowej przestrzeni, jest zaskakująca...

Izometrią nazywamy przekształcenie, które nie zmienia odległości między punktami. Obrazy trzech niewspółliniowych punktów jednoznacznie ją wyznaczają. Twierdzenie Chaslesa głosi, że każda izometria płaszczyzny jest przesunięciem, obrotem lub symetrią z poślizgiem.