Delta mi!

W Delcie 10/2009, w artykule Czy naprawdę prawie robi wielką różnicę, Paulina Małolepsza i Tomasz Małolepszy piszą o przykładach funkcji ciągłych, które są różniczkowalne prawie wszędzie, ale jednak nie są całkami swoich pochodnych.

Czasem przydaje się do czegoś twierdzenie o dwusiecznej...

W tym artykule będziemy się zajmowali obliczaniem wyznaczników macierzy w dowolnym skończonym ciele  Będziemy także badali, jakie jest prawdopodobieństwo, że taki wyznacznik dla macierzy z losowo wpisanymi elementami z ciała  jest różny od  oraz jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowym grafie skierowanym jest nieparzyście wiele pokryć cyklowych.

Załóżmy, że suma kw adratów trzech liczb naturalnych jest podwojonym kwadratem pewnej liczby naturalnej. Czy możliwe jest, żeby wówczas suma czwartych potęg tych trzech liczb była podwojoną czwartą potęgą tej samej liczby?

Zastanówmy się nad pytaniem zawartym w tytule, to jest: czy partia szachów, przy bezbłędnej grze obu stron, zakończy się wygraną któregoś z graczy, czy może też nieunikniony jest remis? Do dziś nie jest znana odpowiedź na to pytanie i to pomimo faktu, że w rozwiązaniu tego problemu mogłyby nam pomóc odpowiednio napisany program i posłużenie się superkomputerem (a najlepiej mocą obliczeniową wielu takich urządzeń połączonych w jedną sieć – tak jak w przypadku globalnej sieci Internet).

W różnych sytuacjach pojawiają się sumy nieskończenie wielu składników. Już w szkołach podstawowych pojawiają się obiekty typu 7132,32323232323...

Organizatorzy gier liczbowych typu lotto przeznaczają sporą część dochodu na zysk i koszt pozyskania dochodu i ten fakt sprawia, że wiele osób powstrzymuje się od gry, a dopiero mechanizm kumulacji powoduje zainteresowanie grą. Dla organizatorów gier kumulacja jest tylko formą odłożenia wypłaty, przeto nic na niej nie tracą, natomiast nowi grający, oczekujący zysku z podziału kwoty odłożonej, grają przeciw stałym graczom.

Każdy, kto był w dżungli lub chociaż widział ją w jakimś filmie, wie, że poruszanie się po niej jest, delikatnie mówiąc, dosyć uciążliwe. Stanowi to ogromny kłopot szczególnie wtedy, gdy ktoś się w niej zgubi i chce się jakoś wydostać. Nie dość, że nie wiadomo, w jakim kierunku iść, to w ogóle ciężko jest nam pokonywać przeszkody (a rozwiązania siłowe, takie jak maczeta, niewiele dają). Istnieje następujące zalecenie: wystarczy znaleźć strumień (co zresztą wcale nie musi być łatwe), a potem liczyć na to, że zaprowadzi nas on do większej rzeki, a ta, być może, do morza.

W tym kąciku zajmiemy się pewnym zadaniem o czworościanie foremnym, o którym, między innymi, miałem okazję opowiadać na XLVI Szkole Matematyki Poglądowej pod hasłem Podejście niestandardowe.

Święta za pasem, więc przygotujmy się nieco do wieszania bombek na choince.

O ciekawych problemach związanych z kapeluszami pisaliśmy już w  Delcie nie raz, ale że dobrego nigdy za wiele, napiszemy też i w tym numerze, tyle że inaczej.

Któż z nas nie bawił się jako dziecko w chowanego? Zabawa ta sprawia dzieciom wiele radości, mimo że z algorytmicznego punktu widzenia jest bardzo prosta. Jeżeli bowiem wszyscy ukrywający się czekają uczciwie w swoich kryjówkach, to zawsze uda się ich znaleźć – wystarczy, jeżeli szukający przejrzy wszystkie miejsca.

Bolek i Lolek zdecydowali się zagrać w ryzykowną grę. Mają do dyspozycji czekoladę, podzieloną na małe kwadratowe kawałki. Nie jest to jednak zwyczajna czekolada – jej lewy dolny kwadrat jest zatruty. Ruch polega na wybraniu jednego niezjedzonego jeszcze kawałka oraz zjedzeniu go wraz ze wszystkimi znajdującymi się wyżej lub bardziej na prawo od niego (czyli podczas wykonywania ruchu trzeba zjeść przynajmniej jeden kawałek czekolady).

Zasada Cavalieriego dla figur płaskich brzmi:
jeżeli dwie figury płaskie w przecięciu z każdą prostą równoległą do danej dają przekrój o tej samej długości, to pola tych figur są równe.

Każdy od czasu do czasu potrzebuje metody przekazania komuś pewnych wiadomości tak, żeby niepowołane osoby nie miały szans na ich przechwycenie. Począwszy od zabaw z kolegami na podwórku, a skończywszy na operacjach bankowych, wojskowych czy wykorzystujących dane osobowe – bez szyfrów po prostu nie da się żyć. Do zaszyfrowania danych zwykle potrzebny jest klucz – pewne słowo czy liczba, które najpierw kierują procesem tworzenia szyfru, a później pozwalają odbiorcy wiadomości ją odkodować. Osoby, które chcą porozumiewać się za pomocą szyfru, muszą najpierw uzgodnić klucz między sobą. I tu pojawia się problem: jak ustalić klucz, tak żeby nikt oprócz nas nie mógł go poznać?

Najpopularniejszy wzór na pole trójkąta to jedna druga podstawa razy wysokość. Proste wnioski z tego wzoru pozwalają rozwiązać niełatwe czasem zadania.

Z inicjatywy Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej oraz Instytutu Matematycznego PAN w zeszłym roku szkolnym zostało zorganizowane Olimpijskie Kółko Matematyczne przeznaczone przede wszystkim dla uczniów warszawskich liceów.

W tym odcinku przyjrzymy się kątom dwuściennym. Jedną z najbardziej skutecznych metod radzenia sobie z nimi jest przeformułowanie problemu tak, żeby zamiast kątów dwuściennych pojawiły się kąty płaskie.

Gdy poznajemy matematykę, liczby oznaczane symbolami  oraz pojawiają się bardzo często. Uznając ważność tych liczb, badamy ich arytmetyczną naturę. Wiemy, że  jest liczbą niewymierną (L. Euler, 1737 r.) oraz  jest liczbą niewymierną (J.H. Lambert, 1767 r.). Przestępność liczby  wykazał Ch. Hermite w 1873 r., a przestępność liczby  wykazał w 1882 r. F. Lindemann. Wyznaczenie dobrych przybliżeń wartości tych liczb nie jest zadaniem banalnym. Przypomnijmy, jak można to zrobić.