Jak pryska bańka mydlana?
W ostatnich kilkunastu latach na pograniczu geometrii różniczkowej i teorii równań różniczkowych rozrósł się nowy, pokaźny dział matematyki, poświęcony badaniom krzywych i powierzchni, które poruszają się zgodnie z jakimś określonym przepisem, zmieniając wraz z upływem czasu swój charakter i własności. Różne punkty mogą przy tym poruszać się z różnymi prędkościami, wyznaczonymi przez rozmaite geometryczne charakterystyki krzywej czy powierzchni...
Badania te mają z jednej strony wyraźny kontekst stosowany (proszę pomyśleć, ilu w szerokim świecie jest bogatych sponsorów, których może interesować ruch cieniutkiej granicy między płynnym metalem a zakrzepłym stopem, albo ruch linii oddzielającej wilgotną jeszcze farbę od zaschniętej warstewki lakieru), z drugiej zaś wiążą się blisko z najpoważniejszymi problemami współczesnej geometrii.
Z obu powodów warto przedstawić Czytelnikom Delty choćby czubek góry lodowej - i opowiedzieć kilka słów o przykładach pojęciowo najprostszych, a przy tym dostatecznie ciekawych i trudnych. Chodzi o tak zwaną ewolucję krzywiznową. Podlegająca jej płaska krzywa zamknięta porusza się zgodnie z następującym przepisem: w ustalonej chwili wektor prędkości każdego punktu krzywej jest prostopadły do krzywej i ma długość równą wartości bezwzględnej krzywizny. Zanim opiszemy kilka własności takiego ruchu krzywych płaskich, przypomnimy definicje i powiemy, jak ustala się zwrot prędkości.

Rys. 1 Czarne części krzywej mają krzywiznę dodatnią, kolorowe - ujemną. W zaznaczonych kropkami punktach krzywizna znika.
Definicja. Krzywizna krzywej gładkiej w punkcie
to odwrotność promienia tego okręgu, który najlepiej ze wszystkich "pasuje" do krzywej w okolicy punktu
Jeśli krzywa sparametryzowana jest długością łuku (tzn. przekształcenie
odpowiada podróży wzdłuż krzywej ze stałą, jednostkową szybkością - wektor styczny
ma dla każdego
długość 1), to krzywizna jest równa liczbie
Dla krzywych płaskich wprowadza się krzywiznę ze znakiem.
W ewolucji krzywiznowej prędkość jest równa iloczynowi krzywizny i wektora normalnego wewnętrznego. Przyjęty wybór znaku krzywizny powoduje, że krzywe ograniczające zbiory wypukłe (jak np. okrąg, elipsa czy kontur jajka) - dla krótkości zwane dalej po prostu krzywymi wypukłymi - kurczą się. Jest jasne, że ostatecznie każda taka krzywa musi "wpaść sama na siebie". Powstaje więc naturalne pytanie: w jaki sposób się to odbywa? Czy w momencie katastrofy krzywa zamienia się w odcinek? W punkt?
Zanim odpowiemy na te pytania, podamy inne własności ewolucji krzywiznowej.

Rys. 2 W chwili pierwszego spotkania zewnętrzna krzywa jest mniej zakrzywiona, więc powinna poruszać się wolniej.
- Własność pierwsza: zakaz wyprzedzania. Jeśli w chwili początkowej krzywa
znajdowała się wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą
to podczas ewolucji krzywiznowej dla wszystkich czasów
krzywe
i
będą rozłączne. Dlaczego tak się dzieje? Oto szkic najważniejszego argumentu. Przypuśćmy na chwilę, że jest inaczej i w pewnej chwili
krzywa
po raz pierwszy dotknęła
W typowej sytuacji krzywizna
jest wtedy mniejsza niż krzywizna
bo przecież krzywa
dotyka krzywej
od zewnątrz. Zatem prędkość krzywej
jest mniejsza niż prędkość
co jednak wyklucza możliwość doścignięcia. (Gdy krzywizny obu krzywych w punkcie pierwszego spotkania są równe, potrzebny jest nieco subtelniejszy argument, wnikający głębiej w teorię równań różniczkowych.)
- Własność druga: pole obszaru ograniczonego przez krzywą zmniejsza się w stałym tempie. Dowód tej własności pozostawimy jako zadanie dla szczególnie zainteresowanych Czytelników.
- Własność trzecia: jeśli
jest okręgiem o promieniu
to
jest współśrodkowym z
okręgiem o promieniu
Nietrudno potwierdzić to rachunkiem. Podlegający ewolucji krzywiznowej okrąg pozostanie, rzecz jasna, okręgiem; przepis na prędkość prowadzi do równania
Mnożąc je stronami przez
otrzymujemy
czyli
Oczywisty dobór stałej
prowadzi do przytoczonego wcześniej wzoru, który ma sens jedynie dla
gdzie
jest czasem życia okręgu.
Każda krzywa zamknięta kurczy się więc proporcjonalnie szybko do pola, które początkowo ogranicza, z pewnością nie dłużej niż otaczający ją okrąg (to wynika z zakazu wyprzedzania). Pora na odpowiedź, co się dzieje w chwili ostatecznej katastrofy.
Twierdzenie 1 (M. Gage, R. Hamilton, 1986). Każda krzywa wypukła podlegająca ewolucji krzywiznowej kurczy się do okrągłego punktu.
Niektórzy Czytelnicy powiedzą może, że przecież wszystkie punkty są okrągłe. Sens sformułowania twierdzenia Gage'a i Hamiltona jest następujący: Przypuśćmy, że krzywe powstają w wyniku ewolucji krzywiznowej z
Jeśli tuż przed chwilą zniknięcia
będziemy
oglądać przez mikroskop, to ujrzymy niemal idealny okrąg. Ściślej, jeśli
oznacza jednokładne powiększenie
w takiej skali, żeby pole wewnątrz
było równe polu wewnątrz początkowej krzywej
to
jest bardzo bliskie okręgu: dla
krzywizna
zbiega do stałej w tempie wykładniczym, a wszystkie pochodne krzywizny są zbieżne do zera.

Rys. 3 Ewolucja krzywiznowa zmieni tę krzywą w brzeg obszaru wypukłego, a potem w "okrągły punkt". Stanie się to w czasie krótszym niż czas życia okręgu o promieniu
Okazuje się, że krzywe niewypukłe (takie, jak np. zawijas z rysunku 3) wcale nie znikają w jakiś bardziej widowiskowy sposób. Mówi o tym dość zaskakujące
Twierdzenie 2 (M. Grayson, 1987). Każda zamknięta krzywa płaska podlegająca ewolucji krzywiznowej w skończonym czasie stanie się wypukła.
Z obu twierdzeń wynika, że wszystkie płaskie krzywe zamknięte kurczą się wskutek ewolucji krzywiznowej do okrągłych punktów.
Gdy do rozważań doda się jeden wymiar, życie stanie się ciekawsze. Rozpatrzmy gładką powierzchnię - taką, jak np. powyginana sfera, torus, czy precel - która rozpoczyna ewolucję średniokrzywiznową. Prędkość każdego punktu jest równa iloczynowi średniej krzywizny i wektora normalnego (zwrot ustalamy tak, by każda powierzchnia, która jest brzegiem zbioru wypukłego, kurczyła się do wewnątrz).
Niektóre własności ewolucji krzywiznowej na płaszczyźnie obowiązują i w tym przypadku. Wciąż mamy zakaz wyprzedzania, a kurcząca się sfera pozostaje sferą. G. Huisken udowodnił odpowiednik twierdzenia 1: powierzchnie, które ograniczają zbiory wypukłe, kurczą się do okrągłych punktów. (Definicja okrągłego punktu w przestrzeni jest podobna do definicji okrągłego punktu na płaszczyźnie; chodzi o to, że oglądając powierzchnię tuż przed zniknięciem przez mikroskop, widzimy niemal idealną sferę.)

Rys. 4 Hantelek
Natomiast twierdzenie 2 nie ma swojego odpowiednika. Przez pewien czas znane były eksperymenty numeryczne, wskazujące, iż powierzchnia w kształcie hantelka o odpowiednio masywnych ciężarkach i długiej rączce wcale nie skurczy się do okrągłego punktu: ścianki wąskiej rureczki powpadają na siebie, zanim pokaźne, krągłe bąble zdążą się zmniejszyć. Niepewny eksperyment komputerowy nie zastąpi jednak dowodu
Ścisły kontrprzykład podał w 1989 r. wspomniany już Grayson. Główna idea wykorzystuje częsty zabieg: większość równań można znacznie uprościć, rozpatrując rozwiązania obdarzone jakąś symetrią.
Grayson rozumował przez zaprzeczenie. Przypuśćmy, że hantelek kurczy się do okrągłego punktu po czasie
Umieśćmy
wewnątrz nieskończonej, okresowej powierzchni obrotowej
złożonej z dużych obłych bąbli złączonych wąziutkimi rurkami. Powierzchnia
będzie ewoluować nie krócej niż
; to wynika z zakazu wyprzedzania. Znając promień (a więc czas życia) sfery mieszczącej się w każdym bąblu, można oszacować
z dołu. Z drugiej strony, stosunkowo proste równanie ewolucji powierzchni obrotowej
startującej z
pozwala oszacować tempo, w jakim zmniejsza się pole podłużnego przekroju osiowego każdej z cienkich rurek. Okazuje się, że po czasie
owo pole musiałoby stać się ujemne! Zatem hantelek nie kurczy się do okrągłego punktu, o ile rurka jest dostatecznie wąska i długa, a bąble pokaźne.
Elastyczna błona oddzielająca dwa obszary o różnych ciśnieniach, na przykład bańka mydlana, jest powierzchnią o stałej średniej krzywiźnie. Rozumowanie Graysona można dostosować do równania, opisującego ruch błony pod wpływem zmiennej różnicy ciśnień, spowodowanej np. dmuchaniem w bańkę mydlaną. Każdy wie, że w przestrzeni trójwymiarowej można przez słomkę wydmuchiwać bańki (i trzeba dmuchać dość mocno i w miarę regularnie - w przeciwnym razie bańka pryska albo zaczyna się kurczyć).
A biedne Płaszczaki muszą się, niestety, zabawiać inaczej.