Delta mi!

Prowadzimy z punktu prostą różną od styczną do okręgu w punkcie Prosta przechodząca przez punkty jest styczna do okręgu w punkcie i przecina prostą w punkcie Pokażemy, że jest środkiem odcinka Ponieważ

uzyskujemy podobieństwa

Stąd wynikają proporcje oraz ; a z nich -

(1)

Dalej, zauważamy kolejne pary trójkątów podobnych (odpowiednie kąty równe):

To daje proporcje oraz z których wynika, że prawa strona wzoru (1) jest równa czyli 1.

Punkty leżą po jednej stronie punktu ; punkty po drugiej. Uzyskana równość oznacza, że jest środkiem odcinka Przez analogię, ten sam punkt jest też środkiem odcinka Stąd wniosek, że odcinki i są przystające.

Niech będzie takim punktem, że czworokąt jest równoległobokiem. Wówczas

oraz

a zatem trójkąty oraz są przystające (cecha bok-kąt-bok). Zatem czyli trójkąt jest równoramienny, więc

Pozostaje zauważyć, że proste i są równoległe, więc

jest szukanym kątem.

Oznaczmy przez punkt przecięcia przekątnych czworokąta Prosta równoległa do przecina bok w punkcie będącym środkiem tego boku. Skoro ów bok jest równoległy do zatem punkt (leżący na prostej ) jest środkiem odcinka

Z danych równoległości dostajemy ponadto równość kątów

Trójkąt jest więc równoramienny: Punkt jako środek odcinka jest w takim razie środkiem okręgu opisanego na trójkącie Wynika stąd, że kąt jest prosty - a to teza zadania.

Niech oznacza pole figury

Ponieważ i są środkami odcinków i to oraz Podobnie otrzymujemy oraz W takim razie czworokąt ma dwa boki równej długości i równoległe, więc jest równoległobokiem o środku Ponadto trójkąt jest obrazem trójkąta w jednokładności o środku i skali więc Z analogicznych rozważań dla trójkątów i otrzymujemy

Stąd mamy

Wiemy również, że

W takim razie otrzymujemy

oraz

W takim razie

Minimum jest osiągane dla czworokąta (zdegenerowanego), w którym wierzchołki i są współliniowe (wówczas ), a maksimum - gdy wierzchołki i są współliniowe (wówczas ).

Niech oznacza pole figury Skoro to Trójkąty te mają wspólną podstawę zatem mają też równe wysokości na nią. Ponieważ punkty i leżą po tej samej stronie prostej wynika stąd, że Analogicznie oraz

Wobec tego niezgodnie ułożone trójkąty i spełniają założenia twierdzenia Jeden z nich jest więc obrazem drugiego w pewnej jednokładności o ujemnej skali, której środek leży na każdym z odcinków

Pokażemy najpierw, że punkty leżą na jednym okręgu. Istotnie,

(ostatnia równość wynika z faktu, że proste i są prostopadłe odpowiednio do i ). Na podstawie twierdzenia Steinera pozostaje uzasadnić, że odbicia punktu względem boków trójkąta leżą na prostej jednakże jest to oczywiste, gdyż proste oraz są symetralnymi odcinków odpowiednio i

Niech prosta przecina półprostą w punkcie Trójki punktów oraz są, oczywiście, współliniowe. Oznaczmy przez przecięcie prostych i drugiej stycznej poprowadzonej z punktu do okręgu o środku w punkcie Łatwo zauważyć, że więc Oznacza to, że półprosta jest również styczna do okręgu o środku w punkcie stąd punkty i są współliniowe. Wobec tego

więc na czworokącie można opisać okrąg. Aby dokończyć rozwiązanie, wystarczy zauważyć, że obrazy punktu w symetrii względem prostych oraz leżą na prostej i zastosować twierdzenie Steinera.

Niech i oznaczają dla odpowiednio promienie okręgów wpisanych, obwody i pola powstałych czterech trójkątów. Wiemy, że wówczas dla każdego zachodzi równość W takim razie

co daje tezę.

Na czarno oznaczono usunięty kwadrat jednostkowy

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla teza jest prawdziwa: rozważana figura jest pojedynczym klockiem. Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnego Niech będzie kwadratem o krawędzi z którego usuwamy jedno pole. Podzielmy na cztery przystające mniejsze kwadraty o krawędzi jeden z nich zawiera usunięte pole. Umieśćmy pojedynczy klocek na środku kwadratu w sposób przedstawiony na rysunku Wówczas na mocy założenia indukcyjnego każdy z czterech mniejszych kwadratów bez jednego pola da się szczelnie wypełnić klockami, co kończy dowód.

Gdy przekątne są prostopadłe, punkty i pokrywają się z i i nie ma czego dowodzić. Przyjmijmy dalej, nie tracąc ogólności, że kąt jest ostry (wtedy punkt leży między i zaś leży między i ). Czworokąt ma okrąg opisany (o średnicy ). Stąd oraz z zależności w trójkątach prostokątnych i dostajemy ciąg równości

Z ostatniej równości wynika położenie punktów na wspólnym okręgu.

Prosta jest prostopadła do więc jest nachylona do boków prostokąta pod kątem Ponadto kąt środkowy oparty na cięciwie jest prosty, a stąd

Czworokąt jest opisany na okręgu o średnicy W takim razie kąty i są równe.

Otrzymujemy, że trójkąty i są podobne. Analogicznie trójkąty i są podobne. W takim razie mamy podobieństwo trójkątów i a stąd

Bezpośrednio stąd wynika, że pole prostokąta jest równe