Delta mi!

Trójkąt równoboczny o wierzchołkach w węzłach nazwijmy czapeczką, jeżeli oraz punkty i leżą po tej samej stronie prostej

Każdemu trójkątowi spełniającemu warunki zadania, przyporządkujmy najmniejszą zawierającą go czapeczkę. Precyzyjniej: jeżeli jest czapeczką, to przyporządkowujemy mu siebie samego, natomiast w przeciwnym przypadku - czapeczkę ograniczoną prostymi: równoległą do przechodzącą przez wierzchołek leżący najbliżej równoległą do przechodzącą przez wierzchołek leżący najbliżej oraz równoległą do przechodzącą przez wierzchołek leżący najbliżej

Każdej czapeczce o boku zostało w ten sposób przyporządkowanych dokładnie trójkątów spełniających warunki zadania. Co więcej, liczba czapeczek o boku jest równa

Wobec tego szukana liczba trójkątów równobocznych to

przy czym równość ta wynika z następującej obserwacji. Czteroelementowy podzbiór zbioru którego drugim co do wielkości elementem jest można wybrać na dokładnie sposobów (wybierając najmniejszy element spośród oraz dwa większe od spośród ). Sumując po wszystkich możliwych uzyskujemy liczbę sposobów wyboru spośród elementów.

Z założenia, że jest najmniejszym kątem czworokąta nietrudno wywnioskować, że punkt leży między i a punkt między i Weźmy pod uwagę okrąg o średnicy ; ów okrąg przechodzi przez punkt (bo ) oraz przecina odcinek w punkcie, który nazwiemy ; zatem

Każdy z czworokątów i ma okrąg opisany. Wynikają stąd równości kątów Zatem trójkąt jest równoramienny.

Niech będzie środkiem odcinka Skoro jest środkiem odcinka prosta jest równoległa do prostej - która jest prostopadła do To znaczy, że prosta jest symetralną podstawy trójkąta równoramiennego ; przechodzi więc przez punkt i mamy tezę

Odpowiedź: lub dla

Zauważmy, że jeżeli -trójkąt można ułożyć z płytek, to jest on złożony z podzielnej przez liczby sześciokątów foremnych o boku co oznacza, że liczba

jest całkowita, czyli daje resztę 0 lub przy dzieleniu przez

Z drugiej strony -trójkąt oraz -trójkąt można ułożyć z płytek. Ponadto dla każdego z -trójkątów oraz -trójkątów można ułożyć -trójkąt, a z -trójkątów oraz -trójkątów można ułożyć -trójkąt (rysunki 3 i 4; ).

Poprowadźmy proste równoległe do pewnego boku kwadratu przez wszystkie wierzchołki wielokąta - dzielą one na pewną liczbę trapezów i trójkątów Niech będzie odcinkiem łączącym środki tych boków wielokąta które nie są równoległe do poprowadzonych prostych, a - wysokością prostopadłą do Wówczas

dla oraz

gdzie oznacza pole figury Zauważmy, że gdyby każdy z odcinków miał długość nie większą od to uzyskalibyśmy nierówność

która stoi w sprzeczności z Wobec tego dla pewnego mamy czyli zawiera odcinek o postulowanej własności.

Trójkąty mają podstawy równe i wspólną wysokość z

gdyż oraz

Odcinki i są środkowymi odpowiednio w trójkątach i Stąd i z zadania 1 mamy Podobnie Zatem co, po odjęciu od obu stron ich części wspólnej, kończy dowód.

Z zadania 1 mamy gdyż jest środkową w trójkącie Analogicznie i Ale także bo jest środkową trójkąta co wobec powyższego daje Podobnie

Można przyjąć, że leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta Wtedy jeśli to Z treści zadania wynika, że a z zadania 4 wiemy, że Stąd więc

Niech przekątne równoległoboku mają wspólny środek Odcinki i oraz i są zatem środkowymi odpowiednio w trójkątach i Trójkąty te mają pola równe i na mocy zadania 4 ich środkowe dzielą każdy z nich na sześć trójkątów o równych polach. Stąd Ponadto podobnie więc też

X' oznacza obraz punktu X.

Obróćmy trójkąt o wokół punktu Boki trójkąta mają długości oraz

X' oznacza obraz punktu X.

(a) Niech Obróćmy trójkąt o wokół punktu Trójkąt ma wówczas boki o długościach oraz jest więc prostokątny. Stąd jego pole równe jest Jednocześnie na mocy zadania 4 wiemy, że pole to równe jest pola trójkąta zatem

Wykażemy, że szukanym zbiorem jest wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka

Z jednej strony, dla każdego punktu tej wysokości mamy

Z drugiej strony, przypuśćmy, że punkt wnętrza trójkąta równobocznego jest taki, że

Oznaczmy przez obraz punktu w obrocie wokół przeprowadzającym na Wówczas trójkąt jest równoboczny.

Oznaczmy przez obraz punktu w obrocie wokół przeprowadzającym na Wówczas trójkąt jest równoboczny.

Zauważmy, że

skąd i To oznacza, że punkt leży na symetralnej odcinka czyli na wysokości trójkąta opuszczonej z

Czworokąt jest równoległobokiem. Niech prosta przecina okrąg, opisany na trójkącie w punktach i (gdy jest styczna, przyjmujemy ). Powstaje trapez równoramienny lub (gdy - trójkąt równoramienny). W każdym przypadku

Trójkąt z założenia nie jest prostokątny, więc żaden jego bok nie pokrywa się ze średnicą na której oparty jest kąt prosty ; a ponieważ zatem To znaczy, że w trójkącie równoramiennym prosta jest symetralną boku W konsekwencji trójkąt jest względem niej symetryczny do trójkąta Okręgi opisane na tych trójkątach są przystające; to już teza, bo drugi z tych okręgów jest też opisany na trójkącie

Oznaczmy przez punkt symetryczny do względem czyli taki punkt, że odcinek jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie Wówczas wobec czego oraz Stąd oraz a zatem

gdzie oznacza pole figury Ponieważ punkt jest środkiem odcinka więc oraz i w konsekwencji

Ostatecznie więc co jest równoznaczne z tezą zadania.

Wiemy, że symetria względem zamienia punkty i oraz punkty i Symetralna odcinka jest do niego prostopadła, przechodzi przez jego środek i przez - środek okręgu, w którym jest cięciwą. Jej obrazem w symetrii względem jest więc prosta prostopadła do przechodząca przez (czyli wysokość trójkąta ) i przez Analogicznie wysokość trójkąta z wierzchołka też przechodzi przez co kończy dowód.

Proste i są wysokościami trójkąta więc też jest.