Delta mi!

Niech przedłużenia ramion i przecinają się w punkcie a proste i w punkcie

Wówczas trójkąty i są przystające, a w szczególności oraz jest środkiem Ponadto jest środkiem ponieważ odcinek jest równoległy do i dwa razy krótszy. Zatem i są środkowymi w trójkącie

Skoro w czworokąt można wpisać okrąg, to zachodzi równość

Ponadto ten okrąg jest wpisany w trójkąty i które mają równe pola (równe połowie pola trójkąta ). W takim razie mają również równe obwody, czyli

Dodając te równości stronami i upraszczając, otrzymujemy równość

Skoro wiemy, że i to mamy też Stąd dostajemy

czyli tezę.

Wybierzmy na prostej punkt w taki sposób, aby czworokąt był równoległobokiem.

Z założonej równości możemy wywnioskować, że jest rombem. Ponadto, skoro to punkt jest środkiem boku Ponieważ punkt jest środkiem boku więc punkty i są symetryczne względem prostej Oznacza to, że czworokąt jest deltoidem, zatem w szczególności można w niego wpisać okrąg.

Konstruujemy kolejno: okrąg o środku i promieniu - jego punkt przecięcia z prostą oraz okrąg o środku i promieniu Na mocy twierdzenia punkty przecięcia powyższych dwóch okręgów to wierzchołki i trójkąta.

Na mocy twierdzenia i założenia, zachodzi równość Stąd jako kąty wpisane w okrąg oparte na równych łukach. Wobec tego

Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt z twierdzenia leży on na dwusiecznej kąta Z symetrii problemu okrąg ten wyznacza więc na ramionach kąta równe cięciwy.

Niech leży w kącie Dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe, więc oraz Wobec tego na czworokącie można opisać okrąg, którego środkiem jest środek odcinka Okrąg ten jest opisany na trójkącie czyli to punkt z twierdzenia leży więc na okręgu opisanym na trójkącie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku ( to środki odcinków).

Niech oznacza długość boku pięciokąta oraz - długość przekątnej. Z podobieństwa trójkątów i mamy skąd Z podobieństwa trójkątów i otrzymujemy

(*)

skąd

W takim razie Wreszcie z podobieństwa trójkątów i i mamy

skąd

więc

Trójkąt równoboczny ma żądane własności. Dowolny inny trójkąt jest jego obrazem przy pewnym przekształceniu afinicznym, które zachowuje środki boków, a więc także środkowe, ich współpękowość oraz stosunek podziału.

W myśl uwagi poprzedzającej zadania, wystarczy rozważyć kwadrat. Odcinek powstaje z odcinka przez obrót o wokół środka kwadratu, zatem więc także Stąd punkt przecięcia prostych i leży na okręgu opisanym na kwadracie. Ponadto skoro to punkt musi należeć do tego łuku okręgu, który zawiera Wobec tego Na mocy wynika stąd, iż czyli Zatem proste przecinają się w jednym punkcie

Zauważmy, że kąt zewnętrzny ma miarę - dwa razy większą od kąta Zatem punkt leży na okręgu o środku i promieniu skąd

Ponieważ trójkąty i są przystające, to

W takim razie punkty leżą na jednym okręgu. Stąd trapez jest równoramienny, w szczególności

Punkty leżą więc na okręgu o środku i promieniu Innymi słowy, punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie i jednocześnie jest środkiem boku tego trójkąta. Ten trójkąt musi zatem mieć kąt prosty przy wierzchołku

Niech będzie takim punktem na odcinku że oraz niech będzie takim punktem na odcinku że

Ponieważ więc trójkąt jest równoboczny. Podobnie trójkąt jest równoboczny. Zauważmy, że

Skoro to więc Zatem trójkąty są przystające (cecha bkb). W szczególności

Oznaczmy oraz Z równoramienności trójkąta oraz danych równości kątów wynika, że Ponieważ oba punkty leżą po tej samej stronie prostej oznacza to, że punkty leżą na jednym okręgu.

Obliczając pole trójkąta  na dwa sposoby, mamy

skąd

---

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  Kąt   jest ostry, więc ma maksymalną wartość, gdy  ma minimalną wartość, którą wyznaczyliśmy powyżej. Zatem kąt   jest maksymalny dla

Przyjmijmy, że bok kwadratu  ma długość  a kwadratów – odpowiednio (stąd ). Niech środek układu współrzędnych będzie ustawiony w środku kwadratu  a osie niech będą równoległe do jego boków (jak na rysunku). Oznaczmy środek kwadratu  przez  dla

Mamy  więc  Podobnie, skoro  oraz  to otrzymujemy
 Stąd w oczywisty sposób dostajemy

Zauważmy, że wykazaliśmy nawet więcej. Z rozwiązania wynika również, że