Delta mi!

Oznaczmy: Wówczas Mamy

skąd wynika, że na czworokącie można opisać okrąg. Z rowności wynika zatem, że

Gdyby teza zadania była fałszywa, to okrąg opisany na -kącie foremnym przecinałby elipsę przynajmniej w pięciu punktach, a to nie jest możliwe.

Jeśli oznacza pole trójkąta, - jego obwód, - promień okręgu wpisanego, zaś i - długości boków, to wówczas

(wzór Herona), a ponadto Z tych wzorów wynika, że

Podstawiając wartości podane w treści zadania przekonujemy się łatwo, że dla każdego z trójkątów promień koła wpisanego jest równy 6.

Oznaczmy długość odcinka przez a krótszej i dłuższej przekątnej danego siedmiokąta foremnego odpowiednio przez i Wówczas na mocy twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do trapezu równoramiennego uzyskujemy

Niech będzie takim punktem, że czworokąt jest równoległobokiem. Wówczas więc trapez jest równoramienny. Stosując do niego twierdzenie Ptolemeusza, otrzymujemy

gdyż oraz Łącząc uzyskane równości, mamy

skąd

Oznaczmy odpowiednio przez i środki ramion i trapezu, a przez punkt przecięcia jego przekątnych. Wówczas na mocy nierówności trójkąta

przy czym ostatnia równość wynika z faktu Jednocześnie w trapezie co kończy dowód.

Trójkąt jest równoramienny, gdyż Ponadto

Niech będzie środkiem boku trójkąta prostokątnego Wówczas trójkąt jest równoramienny i na mocy powyższej równości kątów podobny do trójkąta Stąd

co kończy dowód.

Niech będzie środkiem boku a - środkiem ciężkości trójkąta Wówczas

Trójkąty oraz mają kąty po gdyż każdy z nich z założenia jest prostokątny i ma kąt Można wobec tego ułożyć je w sposób przedstawiony na rysunku. Kąt pomiędzy sąsiadującymi teraz odcinkami rozważanej łamanej jest wówczas równy

Stąd otrzymana figura także jest trójkątem o kątach przy czym jedna jego przyprostokątna ma długość 1, a suma pozostałych dwóch boków to szukana długość łamanej. Jest ona wobec tego równa gdyż trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2.

Przestawmy fragmenty kwadratu tak, jak na rysunku. Obwód rozważanego czworokąta to teraz długość kolorowej łamanej. Jest ona nie mniejsza od odcinka łączącego jej końce, czyli od co z kolei jest większe od 7.

Niech będzie środkiem przekątnej Wówczas oraz Stąd na mocy nierówności trójkąta dla punktów mamy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czyli gdy

Niech będzie środkiem odcinka Wówczas oraz Wobec tego trójkąty i są podobne w skali a więc

Oznaczmy środek boku przez Wówczas Wobec tego trójkąt jest równoramienny i podstawa tworzy równe kąty z bokami i Jednocześnie oraz co kończy dowód.

Niech będzie środkiem boku Wówczas oraz Wobec tego trójkąt jest równoramienny ( gdyż nie jest równoległobokiem). Stąd rzut na prostą jest środkiem podstawy a więc rzuty boków i na prostą są równej długości jako połówki podstawy. Wobec tego również dwukrotnie od nich dłuższe rzuty odcinków i są równej długości.

oznacza pole figury

Niech oznacza miarę nie większego z kątów pomiędzy przekątnymi i wówczas Jednocześnie oraz zatem kąt pomiędzy odcinkami i także jest równy oraz

Analogicznie stąd

Dla wielokąta oznaczmy przez lekko zmodyfikowaną sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta mianowicie taką, w której zamiast kątów wklęsłych występują kąty dopełniające je do pełnych ze znakiem " ". Jeżeli więc jest -kątem o dokładnie wklęsłych kątach wewnętrznych, to definiujemy

Przypuśćmy, że wielokąt wypukły jest podzielony odcinkami na wielokąty o rozłącznych wnętrzach. Wierzchołkami podziału nazwijmy te wierzchołki wielokątów które nie są wierzchołkami wielokąta Wówczas

gdzie jest liczbą wierzchołków podziału wokół których znajdują się tylko kąty wypukłe wielokątów zaś jest liczbą wierzchołków podziału leżących na bokach wielokąta (w przypadku wierzchołków podziału, będących wierzchołkami pewnych kątów wklęsłych wielokątów "wychodzimy na zero", zgodnie z definicją ).

W szczególności z powyższej równości wynika, że

Pozostaje zauważyć, że gdyby wszystkie wielokąty były czworokątami wklęsłymi, to dla każdego wobec czego

co nie może mieć miejsca.