Delta mi!

Oznaczmy przez punkt przecięcia prostych  i  . Należy dowieść, że . Rozpatrzmy okrąg o średnicy  . Okrąg ten przechodzi przez punkty Q i R. Korzystając zatem z twierdzenia Pascala dla „sześciokąta” AAQRDD, wnioskujemy, że punkty B, C oraz P’ leżą na jednej prostej. Stąd P = P’.

Z ćwiczenia (c) punkty są ogniskami pewnej elipsy wpisanej w trójkąt (rysunek). Na mocy wskazówki punkty leżą na okręgu o środku w środku  odcinka . Kąt jest prosty  jest średnicą tego okręgu  jest środkiem   jest równoległobokiem oraz  jest punktem przecięcia wysokości trójkąta  .

Niech będzie obrazem  w symetrii względem prostej . Wtedy oraz . Z ćwiczenia (c) istnieje więc elipsa o ogniskach , wpisana w trójkąt . Jest ona styczna do boku w punkcie  i do boków odpowiednio w  . Z Faktu, , , . Suma tych sześciu kątów daje kąt pełny  , zatem , co kończy dowód.

Oznaczmy przez odpowiednio środki odcinków Ponieważ trójkąty oraz są prostokątne, więc

Ponadto, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa, otrzymujemy

Wobec tego

Wybierając punkty jako środki odcinków , otrzymujemy kwadrat o obwodzie  .

Oznaczmy: (rysunek). Wtedy oraz . Ponadto

Stąd oraz z równości wynika, że okrąg o środku  i promieniu  przechodzi przez punkty , oraz  Wobec tego , skąd otrzymujemy

A zatem

Porównując ostatnie dwie zależności, dostajemy tezę.

Niech . Z faktu 2 mamy oraz , a także oraz . Z faktu 1 wyznaczamy  oraz , a także

Wynik sam wyszedł! .