Delta mi!

Umieśćmy w wierzchołkach  równe masy  Wtedy  gdzie  to środek . Środek ciężkości trójkąta  leży na środkowej ; analogicznie leży na pozostałych środkowych. Ponadto  czyli środkowe dzielą się w stosunku   licząc od wierzchołka.

Jeśli  jest wysokością  to  i  Stąd

czyli  Szukany środek ciężkości leży więc na  i analogicznie na wysokościach z  i z

Skoro  to Podobnie          Dodając stronami, uzyskujemy    czyli

Zauważmy, że  bo trójkąty te mają równe podstawy  i wspólną wysokość z Ponadto  (ponieważ ). Analogicznie  Stąd  Podobnie  i ostatecznie

Trójkąty  i  mają wspólną podstawę  i równe pola, więc też równe wysokości. Punkty  są po tej samej stronie prostej  stąd  Dla pozostałych przekątnych dowód jest analogiczny.

Zachodzą kolejno równości

przy czym  wynika z równoległości  a  z 

Trójkąty  i  mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc też równe pola. Stąd

czyli

Trójkąty  i  mają wspólną wysokość z  więc

Podobnie  Stąd

czyli    Wobec tego

Niech  będą środkami odcinków  Z twierdzenia Talesa wynika, że    i   Przez  oznaczamy punkt wspólny prostych  i  Analogicznie definiujemy punkty  i  Boki trójkątów  i  są odpowiednio równoległe, więc punkt  w którym przecinają się proste  i  jest środkiem jednokładności w skali  przekształcającej trójkąt  na trójkąt  (  leży też na prostej ).

Najpierw wywnioskujemy twierdzenie z lematu. Jednokładność o środku  w skali  przekształca okrąg  opisany na trójkącie  na okrąg  opisany na trójkącie  Środek okręgu  leży na prostopadłych do prostych  przechodzących przez wierzchołki  więc środek okręgu  leży na prostopadłych do prostych  przechodzących przez wierzchołki  Na mocy lematu (dowód w artykule) te prostopadłe są symetralnymi boków trójkąta  więc ich punkt wspólny to środek okręgu opisanego na trójkącie

Ustawmy trójkąt tak, by  było podstawą. Wtedy wierzchołek  leży na okręgu o środku  i promieniu 1. Pole trójkąta jest maksymalne, gdy wysokość z  jest maksymalna (bo podstawa  ma ustaloną długość 1), czyli gdy wysokość ta jest równa 1. Zachodzi to dla  czyli dla

Rozważmy prostokąt  o bokach  i   Niech punkt  będzie środkiem boku  a punkt  niech należy do boku  przy czym   Wtedy z twierdzenia Pitagorasa      Należy obliczyć pole trójkąta  Jest ono równe

Ustawmy trójkąt  obok trójkąta  jak na rysunku (  oznacza odpowiednik wierzchołka ). Wtedy w trójkącie  podstawa  ma długość  wysokość  jest równa 1, więc pole jest równe  Pozostałą częścią pięciokąta jest trójkąt  Przystaje on do trójkąta  ponieważ    oraz bok  jest wspólny. Stąd  więc pole pięciokąta równe jest 1.

Trójkąty i  mają równe pola oraz wspólny bok  Wobec tego wysokości tych trójkątów poprowadzone do boku  są równe. Ponadto punkty  i  leżą po tej samej stronie prostej  Stąd wniosek, że przekątna  jest równoległa do boku  Analogicznie dowodzimy, że pozostałe cztery przekątne pięciokąta  są równoległe do odpowiednich jego boków

Rozważmy przypadek, gdy przecina ramię . Rozszerzmy nasz trójkąt do kwadratu .

Punkt przecięcia prostej  z nowo dorysowanym bokiem kwadratu oznaczmy przez  Szukamy takich punktów  że  Równoważnie takich, że odcinki  i  są symetryczne względem prostej  prostopadłej do  przechodzącej przez  To zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty  i  są symetryczne względem tej prostej, co jest z kolei równoważne temu, że punkty  i  są symetryczne względem  (bo punkty  i  zostały skonstruowane tak, że są symetryczne względem ).

Niech punkt  będzie czwartym wierzchołkiem równoległoboku  a  – czwartym wierzchołkiem równoległoboku Równoległoboki te są przystające, ponieważ    oraz    Stąd

Niech punkt  będzie czwartym wierzchołkiem równoległoboku  Wtedy  także jest równoległobokiem (bo ). Wobec tego punkt  jako środek jego przekątnej  jest też środkiem drugiej przekątnej  Analogicznie  jest środkiem  Stąd i z twierdzenia Talesa uzyskujemy  oraz