Narysuj równoległobok!»Zadanie 3
W trójkącie
zachodzi równość
Punkt
jest środkiem wysokości
Punkt
jest rzutem
prostokątnym punktu
na prostą
Udowodnij, że
W trójkącie
zachodzi równość
Punkt
jest środkiem wysokości
Punkt
jest rzutem
prostokątnym punktu
na prostą
Udowodnij, że
Punkt
leży wewnątrz równoległoboku
przy czym
Wykaż, że
W sześciokącie wypukłym
o polu 1 przeciwległe boki są
równe i równoległe. Wyznacz pole trójkąta
W trapezie
punkty
i
są środkami odpowiednio
ramion
i
Wykaż, że
i że
Dany jest trójkąt
Wykaż, że z jego środkowych można
zbudować trójkąt.
Dany jest trójkąt równoboczny
Punkty
i
należą odpowiednio do boków
i
tego
trójkąta i
Punkt
jest środkiem odcinka
Udowodnij, że
Trójkąt
w którym
jest podstawą
ostrosłupa
Ponadto zachodzą równości
oraz
Wykaż, że
Na boku
trójkąta
wybrano punkt
Punkty
i
są środkami okręgów wpisanych w trójkąty
i
Punkt
jest punktem styczności okręgu wpisanego w trójkąt
do boku
Wykazać, że punkty
leżą na
jednym okręgu.
Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu
leżącego
wewnątrz trójkąta równobocznego
o boku
od jego
wierzchołków jest nie większa niż
Punkty
należą odpowiednio do boków
trójkąta
proste
przecinają się w punkcie
Wykaż, że
W trójkącie
punkty
są spodkami dwusiecznych
odpowiednio
i
Punkt
jest spodkiem
dwusiecznej kąta zewnętrznego przy wierzchołku
Udowodnij, że
punkty
leżą na jednej prostej.
Punkty
i
leżą odpowiednio na bokach
i
trójkąta
a punkt
na przedłużeniu boku
przy czym punkty
są współliniowe. Punkty
są odpowiednio środkami boków
zaś punkty
– obrazami symetrycznymi punktów
w symetriach względem
Wykaż, że punkty
są
współliniowe.
Udowodnij twierdzenie
Twierdzenie (Cevy). Punkty
należą odpowiednio do boków
trójkąta
Wówczas proste
przecinają się w jednym punkcie wtedy
i tylko wtedy, gdy
Punkt
leży wewnątrz równoległoboku
przy czym
środek odcinka
jest jednakowo odległy od punktów
i
a środek odcinka
jest jednakowo odległy od punktów
i
Punkt
jest środkiem odcinka
Wykazać, że
Przekątne
i
czworokąta wypukłego
przecinają
się w punkcie
Punkt
jest środkiem boku
Prosta
przecina bok
w punkcie
Udowodnij, że
stosunek pól trójkątów
i
jest równy stosunkowi
długości odcinków
i
Każde dwa wierzchołki sześciokąta połączono odcinkiem w jednym z dwóch kolorów, amarantowym lub seledynowym. Udowodnij, że z wierzchołków sześciokąta można wybrać co najmniej jeden trójkąt o wszystkich bokach w tym samym kolorze.
Dany jest trójkąt
Rozważamy punkt
zmieniający swoje
położenie na boku
Prosta styczna do okręgów wpisanych
w trójkąty
i
, rozłączna z odcinkiem
przecina odcinek
w punkcie
Udowodnić, że wszystkie
uzyskane w ten sposób punkty
leżą na pewnym okręgu.