Delta mi!

Nie tracimy ogólności, rozważając jedynie niemalejące ciągi dzięki czemu wyrazy sumy

(1)

są uporządkowane nierosnąco. Niech oraz oznaczają iloraz i resztę z dzielenia przez Wykażemy, że ciąg

(2)

jest tym, dla którego suma (1) - pozostając mniejszą od 1 - jest maksymalna. Wynosi ona

(3)

Niech więc będzie dowolnym ciągiem, dla którego wartość sumy (1) jest mniejsza od 1. Przypuśćmy, że pewien wyraz z wykładnikiem powtarza się co najmniej razy. Przyjmijmy, że jest największym takim numerem. Wykreślamy składników równych i zastępujemy je pojedynczym wyrazem

Wartość sumy nie uległa zmianie, ale ciąg skrócił się o wyrazów. Dopisujemy więc na końcu ułamków, z wykładnikami tak dużymi, by wartość sumy (1) (która się powiększa!) pozostała mniejsza od 1 - bacząc jedynie, by żaden wyraz (z wykładnikiem ) nie powtórzył się -krotnie.

Powtarzamy tę modyfikację tak długo, dopóki istnieje blok jednakowych składników długości co najmniej z jakimkolwiek wykładnikiem Mógłby ewentualnie pozostać taki blok dla wykładnika czyli złożony ze składników równych - ale to też nie jest możliwe, skoro przez cały czas była prowadzona kontrola, by suma nie osiągnęła wartości 1. Stąd wynika, że w dalszym ciągu dowodu można ograniczać uwagę do ciągów o własnościach:

(4)

Ciąg (2) spełnia te warunki. Dla wykazania jego optymalności weźmy pod uwagę dowolny inny ciąg także spełniający powyższe warunki, i oznaczmy przez najwcześniejszy numer, dla którego Zatem odcinki są identyczne.

Nietrudno zauważyć, że ; w przeciwnym przypadku mielibyśmy ; to by oznaczało, że i że w ciągu (2) jest wyrazem kończącym blok złożony z równych liczb. Skoro zaś dla oraz mielibyśmy w ciągu blok złożony z równych liczb, wbrew warunkowi (4). Tak więc

Dokonujemy kolejnej modyfikacji ciągu zastępując wyraz liczbą Warunki (4) pozostają spełnione, wartość sumy (1) zwiększa się, zaś nowy ciąg pokrywa się z ciągiem (2) na odcinku Po skończenie wielu takich krokach dochodzimy do ciągu To pokazuje, że wartość sumy (1) dla wyjściowego ciągu była mniejsza niż jej wartość dla ciągu - czyli liczba dana wzorem (3), która wobec tego jest szukanym kresem górnym.

(a)

Odpowiedź: Nie.
Przypuśćmy, że taki zbiór istnieje. Aby liczby 0 oraz miały przedstawienia w postaci odpowiednich sum, musimy mieć Gdyby to mielibyśmy dwa przedstawienia tej liczby jako sumy elementów : a zatem Podobne rozważania prowadzą kolejno do wniosków, że Ale sprzeczność.

(b)

Odpowiedź: Tak.
Niech Wówczas każda liczba nieparzysta większa od (czyli każdy element zbioru ) postaci ma dokładnie jedno przedstawienie w postaci sumy dwóch elementów mianowicie oraz

Wykażemy, że równanie nie ma rozwiązań, w których oraz Z tożsamości

wynika spostrzeżenie:

(1)

Stąd wniosek, że rozważane równanie nie może być spełnione, gdy jest liczbą parzystą.

Gdy jest liczbą nieparzystą postaci ( bo rozważamy ), zapisujemy lewą stronę równania jako iloczyn Prawa strona równania, równa musiałaby się dzielić przez co nie jest możliwe, znów w myśl uwagi (1).

Gdy natomiast mnożymy równanie stronami przez otrzymując

(2)

Lewa strona dzieli się przez więc i przez Liczba nie może być parzysta, bo wówczas liczba byłaby względnie pierwsza z oboma czynnikami prawej strony (2). Niech więc Skoro lewa (więc i prawa) strona (2) dzieli się przez możemy napisać Po podstawieniu wychodzi

(3)

- sprzeczność, bo liczba w nawiasie po prawej stronie (3) jest względnie pierwsza z każdym z czynników lewej strony (3).

Pozostają sytuacje trywialne, gdy lub równa się 1. Jeśli to zaś może być dowolne. A gdy równanie mówi jedynie, że Tak więc wszystkimi rozwiązaniami równania są trójki postaci lub

Zdefiniujmy ciąg następująco

Udowodnimy indukcyjnie, że dla każdego liczba jest kwadratem liczby całkowitej. Dla mamy Przypuśćmy, że jest kwadratem dla pewnego Wówczas

a iloczyn trzech kwadratów liczb całkowitych jest kwadratem liczby całkowitej, co kończy dowód indukcyjny. Zauważmy, że para

spełnia warunki zadania dla każdej liczby całkowitej a ponadto pary te są różne, gdyż ciąg jest ściśle rosnący. Rzeczywiście, mamy oraz

a ponadto przyjmując otrzymujemy

Zauważmy, że reszta z dzielenia liczby przez liczbę jest równa

wobec tego równość można przepisać jako

czyli równoważnie

Zauważmy ponadto, że czynnik

jest równy jeżeli dzieli oraz 0 w przeciwnym przypadku. Stąd wniosek, że powyższy warunek można przepisać jako

Łatwo sprawdzić, że równość ta jest spełniona dla gdzie jest dodatnią liczbą całkowitą. Przykładową nieskończoną rodzinę liczb spełniających warunek zadania stanowią więc wszystkie potęgi dwójki.

Udowodnimy, że jeżeli jest liczbą podzielną przez to nie można zapisać w postaci sumy dwóch elementów zbioru albo - w myśl tezy poprzedniego zadania - w postaci iloczynu dwóch elementów zbioru Przypuśćmy, że

gdzie Skoro to co najmniej jeden z czynników w liczniku powyższego ułamka jest podzielny przez ; bez straty ogólności załóżmy, że Stąd wynika, że liczby i są tej samej parzystości, skąd wobec - obie są nieparzyste. Jednak wówczas daje resztę przy dzieleniu przez - sprzeczność.

Aby wskazać nieskończenie wiele liczb naturalnych będących iloczynami dwóch elementów zbioru rozważymy ciąg Fibonacciego

i wykorzystamy tożsamość

Dla mamy więc

co jest liczbą całkowitą dla każdego To kończy dowód, gdyż dla różnych otrzymujemy różne liczby.

Zauważmy, że jeżeli dla pewnych to

przy czym To dowodzi, że jeżeli jest iloczynem dwóch elementów zbioru to jest również sumą dwóch elementów zbioru

Przypuśćmy, że dla pewnych oraz niech będą zapisami liczb w postaci ułamków nieskracalnych, czyli Wówczas

Ponieważ jest liczbą całkowitą, więc musi być dzielnikiem licznika powyższego ułamka. Stąd wniosek, że dzieli skąd wobec mamy, że dzieli Analogicznie uzasadniamy, że dzieli Zatem czyli i w konsekwencji

Skoro to jest iloczynem dwóch elementów zbioru

Liczby o jakie pyta zadanie, istnieją; można znaleźć wiele takich par. Przykład Autora (W. Bednarek): Wówczas i dalej (dla każdego ):

- jest to liczba złożona (różnica w ostatnim nawiasie przekracza 1, bo ciąg jest rosnący).

(a) Przypuśćmy, że liczby oraz mają wspólny dzielnik pierwszy (jasne, że ). Wykażemy, że wówczas liczba dzieli się przez (nie jest więc bezkwadratowa). Zgodnie z małym twierdzeniem Fermata, (mod ). Podnosimy tę kongruencję stronami do potęgi otrzymując (mod ). Zatem dla pewnej liczby całkowitej Stąd

czyli (mod ); a to była nasza teza.

(b) Przykład pokazujący, że nie zachodzi implikacja odwrotna, nie tak łatwo znaleźć (mała szansa, że trafimy, zwyczajnie próbując - bez komputera ciężko). Prosty program, który dla zadanej liczby pierwszej kontroluje dwie końcowe cyfry rozwinięcia (przy podstawie ) kolejnych potęg dwójki, pozwala znaleźć moment powtórzenia końcówki czyli wykładnik dla którego (mod ). Powtarzamy tę procedurę dla kolejnych liczb pierwszych ; warto przy tym, dla oszczędności czasu, ograniczyć zakres wykładnika, np. do W ten sposób szybko znajdujemy parę ; nie jest ona jednak szukanym kontrprzykładem, bowiem dla tej pary zachodzą związki (mod ), z których nietrudno wynika, że liczby i nie są względnie pierwsze.

Następna znaleziona para jest już dobra: gdyby liczby oraz nie były względnie pierwsze, ta ostatnia musiałaby się dzielić przez 7 lub 13; ale minimalne wykładniki dla których (mod 7), (mod 13), to więc wykładnik musiałby się dzielić przez 3; a tak nie jest. Skoro zaś ta para została wygenerowana przez algorytm, zapewniający podzielność przez zatem liczba nie jest bezkwadratowa.

Przyjmijmy oznaczenia: Wystarczy wykazać, że każda liczba pierwsza, która dzieli iloczyn wchodzi do iloczynu w co najmniej takiej samej potędze. Niech więc będzie liczbą pierwszą i niech (dla ) będzie takim wykładnikiem, że (ten napis oznacza, że dzieli się przez ale nie przez ). Wówczas gdzie i wobec tego Oczywiście Porównanie wykładników nie pozostawia wątpliwości:

(1)

Wobec dowolności wyboru uzasadnia to zadaną nierówność

Kiedy zachodzi równość Wtedy, gdy każda liczba pierwsza dzieli w dokładnie tej samej potędze, w jakiej dzieli Czyli gdy dla każdej liczby pierwszej nierówność (1) (z wykładnikami wyznaczonymi przez ) staje się równością.

Dla jest tak zawsze; dostajemy znaną tożsamość:

Dla równość w relacji (1) oznacza, że gdy po jej prawej stronie usuniemy jeden największy i jeden najmniejszy składnik, pozostaną jakieś nieskreślone składniki, o zerowej sumie - czyli wszystkie równe zeru. Składnik najmniejszy automatycznie także jest zerem. Tylko jeden składnik po prawej stronie (1) może być dodatni. To znaczy, że tylko jedna z liczb może dzielić się przez Wobec dowolności znaczy to, że liczby są parami względnie pierwsze.

I na odwrót, gdy tak jest, wówczas dla każdej liczby pierwszej mamy w ciągu co najwyżej jeden wyraz niezerowy; nierównść (1) przechodzi w równość, i w konsekwencji

Podsumowując: dla równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są parami względnie pierwsze; dla ta równość jest tożsamością.

Będziemy szukali takich rozwiązań, dla których oraz gdzie jest dodatnią liczbą całkowitą; wówczas liczba

będzie kwadratem liczby całkowitej.

Z powyższych równości wynika, że

więc rozważane liczby mają szukaną postać, o ile tylko liczby są powiązane zależnością

Powyższe znane równanie diofantyczne (tzw. ujemne równanie Pella) ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych danych przez

dla

Jeżeli jest liczbą parzystą, to żądanym przedstawieniem jest

Przypuśćmy, że jest liczbą nieparzystą i niech będzie najmniejszą nieparzystą liczbą pierwszą, która nie jest dzielnikiem liczby Wówczas przedstawienie liczby w postaci różnicy

spełnia warunki zadania. Rzeczywiście, każda z liczb oraz ma dokładnie te dzielniki pierwsze co liczba a ponadto po jednym dodatkowym - odpowiednio oraz

Niech będą liczbami naturalnymi, spełniającymi warunek Wymierny pierwiastek z liczby naturalnej jest liczbą naturalną. Zatem musi być kwadratem liczby naturalnej. Oznaczając przez największy wspólny dzielnik liczb (tak, że ; względnie pierwsze) widzimy, że czynniki muszą być kwadratami: ( naturalne). Badane równanie przybiera postać ; po przekształceniu: Stąd wniosek, że

Uzyskaliśmy odpowiedź: liczby to podwojone kwadraty dwóch kolejnych liczb naturalnych. Proste sprawdzenie pokazuje, że każda taka para spełnia wymagany warunek.

Łatwo obliczyć Podobnie szukane sumy równe są w odpowiednich systemach pozycyjnych. W dwójkowym liczba jest jak w dziesiętnym, więc pierwsza z sum to . Analogicznie dla drugiej sumy: w systemie siódemkowym równe jest w dziesiętnym.

Przyjmijmy, że liczby spełniają postawione warunki; w szczególności gdzie jest liczbą pierwszą. Jasne, że Iloczyn liczb naturalnych i wynosi więc jedna z nich dzieli się przez W takim razie druga jest dzielnikiem liczby 6; wobec czego mniejsza z nich nie przekracza 6. Dostajemy oszacowanie

Jeżeli to czyli Sprawdzamy, że tylko para jest dobra.

Dalej przyjmujemy, że Wówczas (mod 5), więc

To pokazuje, że iloczyn liczb całkowitych oraz dzieli się przez 5. Są to z założenia liczby pierwsze, więc któraś z nich jest równa 5. Ale Pozostaje możliwość

Iloczyn liczb naturalnych i wynosi Cztery możliwe rozkłady dają pary odpowiednio, Ostatnia odpada. Dla wychodzi liczba złożona. Pozostałe dwie pary są już dobre. Wraz z parą znalezioną wcześniej, ostatecznie otrzymujemy trzy rozwiązania. Wypiszemy je, podając również wartości i :

Bez straty ogólności przyjmijmy, że

Zauważmy, że w każdej z par

jest co najmniej jedna liczba spoza zbioru Rzeczywiście, gdyby w pewnej parze obie liczby należały do to ich suma także, co przeczy definicji Z drugiej strony liczb spoza które są mniejsze od jest dokładnie Stąd a zatem Sumując te nierówności dla uzyskujemy

Jeżeli oraz dla pewnych dodatnich liczb całkowitych to

Liczba ma trzy przedstawienia w postaci iloczynu dwóch dodatnich liczb całkowitych:

co wobec prowadzi do par : i w konsekwencji do lub Bezpośrednio sprawdzamy, że każda z tych liczb ma żądaną własność.

Istnieje. Przykład Autora (W. Bednarek): ciąg

Bierzemy dowolnie utworzoną sumę skończenie wielu wyrazów, o numerach :

Suma w dużym nawiasie jest liczbą nieparzystą (jej pierwszy składnik to jedynka). Gdyby dla pewnej liczby naturalnej zachodziła równość wówczas pisząc w postaci ( nieparzyste) i przyrównując potęgi dwójki w i w uzyskalibyśmy równość ; oczywista sprzeczność.

Pozostaje zauważyć, że ciąg o wyrazach jest ograniczony.

Oznaczmy przez największy wspólny dzielnik liczb i Ponieważ liczby i są względnie pierwsze, a ich suma jest podzielna przez więc liczba jest względnie pierwsza z liczbami i Ponadto liczba jest podzielna przez Stąd wynika, że czyli