Przeskocz do treści

Delta mi!

Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne

Słowa kluczowe

Kategoria

Teoria liczb

Zadanie ZM-1242
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: maj 2009

Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Wyznaczyć najmniejszą liczbą naturalną, której nie da się przedstawić w postaci
$display-math$
gdzie $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeśli liczba $\text{[math]}$ jest żądanej postaci, to także liczba $\text{[math]}$ jest tej postaci. Ponadto
$display-math$
Stąd wynika, że każda z liczb $\text{[math]}$ da się przedstawić w żądanej postaci.
Wykażemy teraz, że nie istnieją liczby całkowite dodatnie $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , dla których
$display-math$
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $\text{[math]}$ , wówczas $\text{[math]}$ . Podstawiając $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ otrzymujemy zależność
$display-math$
Stąd wynika, że $\text{[math]}$ . Z kolei dla $\text{[math]}$ nie istnieje liczba całkowita dodatnia $\text{[math]}$ spełniająca zależność $\text{[math]}$ . A zatem $\text{[math]}$ .Wówczas liczby $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ dają resztę $\text{[math]}$ z dzielenia przez $\text{[math]}$ . Stąd obie strony zależności $\text{[math]}$ dają różne reszty z dzielenia przez $\text{[math]}$ . Otrzymana sprzeczność dowodzi, że liczby $\text{[math]}$ nie da się przedstawić w żądanej postaci.
Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne , Podzielność

Słowa kluczowe

Kategoria

Teoria liczb

Zadanie ZM-1240
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: maj 2009

Publikacja elektroniczna: 18 czerwca 2010
Rozstrzygnąć, czy istnieje 19-cyfrowa liczba naturalna N podzielna przez $|11$ o tej własności, że każda inna 19-cyfrowa liczba otrzymana z N poprzez zmianę kolejności (permutację) jej cyfr nie jest podzielna przez $|11.$

Rozwiązanie

Taka $19$ -cyfrowa liczba $N$ istnieje, np. $=2121...12 N$

Wiadomo, że $|k$ -cyfrowa liczba $------------- |n =akak −1...a2a1$ jest podzielna przez $11$ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $|S = a −a + a − a + ... 1 2 3 4$ jest podzielna przez $|11$ . Stąd wynika, że liczba $|N$ jest podzielna przez $|11.$

Wykażemy teraz, że każda inna liczba $------------- n = a19a18...a2a1$ otrzymana z $|N$ poprzez permutaję jej cyfr nie jest podzielna przez $|11.$

Ponieważ wśród cyfr $a ,a ,...,a 1 2 19$ liczby $n$ jest dokładnie $|10$ dwójek i $9$ jedynek, więc liczba $S$ jest nieparzysta. Ponadto $− 7 ⩽ S⩽ 11$ . Stąd wynika, że liczba $|n$ jest podzielna przez $11$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S = 11.$ To jednak jest możliwe jedynie wtedy, gdy $. n = N$