Udowodnić, że piramida o podstawie kwadratu ułożona z kul armatnich składa się z kwadratowej liczby kul wtedy i tylko wtedy, gdy bok jej podstawy ma długość 24 kul.
Udowodnij, że liczba składająca się w zapisie dziesiętnym z 
jedynek ma co najmniej 
różnych dzielników pierwszych.
Zadanie 804 zaproponował pan Semen Słobodianiuk
Niech 
będzie liczbą pierwszą; 
Dla liczby całkowitej 
niech 
oznacza zbiór takich permutacji 
zbioru wszystkich reszt (mod 
), że
 |
Dowieść, że jeśli 
to zbiory 
i 
są równoliczne.
Wybrać pięć odważników tak, aby można było na wadze szalkowej zważyć każdy ładunek o masie 
jeżeli podczas ważenia odważniki można układać tylko na jednej szalce.
Wybrać możliwie najmniej odważników tak, aby na wadze szalkowej można było zważyć każdy ładunek o masie 1, 2, 3, ...,30.
Ile będzie po roku par królików, które urodzą się jako potomstwo jednej pary, jeśli każda para wydaje na świat co miesiąc nową parę, zdolną z kolei po miesiącu do rozmnażania, i jeśli żadna para w tym czasie nie ginie?
Udowodnić, że nie istnieją takie nieparzyste liczby 
że
 |
Niech 
będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg liczb całkowitych 
spełnia warunki:
 |
dla 
Udowodnić, że jeżeli 
to istnieją takie 
że 
i 
oraz 
Udowodnić, że istnieje 2020 kolejnych dodatnich liczb całkowitych, wśród których jest dokładnie 13 liczb pierwszych.
Rozważmy wszystkie liczby siedmiocyfrowe, w których każda z cyfr 
występuje dokładnie raz. Udowodnić, że żadna z tych liczb nie jest dzielnikiem innej.
Wybierzmy liczby 
i 
spośród danych w zadaniu. Mamy 
Jeśli 
to niech 
Wówczas 
Teraz trzeba zauważyć, że liczby 
i 
dają resztę 1 z dzielenia przez 9, co wymusza 
Spośród liczb siedmiocyfrowych określonych w poprzednim zadaniu wybierzmy trzy, niekoniecznie różne. Czy ich suma może być kwadratem liczby naturalnej?
W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej 
nie występuje żadna z cyfr 1, 2, 9. Udowodnić, że w zapisie dziesiętnym liczby 
występuje co najmniej jedna z tych cyfr.
Niech liczba z zadania będzie 
-cyfrowa. Możemy zapisać 
Wystarczy teraz wykazać, że jeśli liczba 
ma tyle samo cyfr co 
to jej pierwszą cyfrą jest 9, a jeśli ma o jedną cyfrę więcej, to jej pierwszą cyfrą jest 1 lub 2.
W zapisie dziesiętnym liczby 
jest dziewięć cyfr, każda inna. Wiedząc to, bez obliczania 
wyznaczyć cyfrę, która w tej liczbie nie występuje.
Jeśli 
jest brakującą cyfrą, to suma cyfr liczby 
wynosi 
Zauważmy, że liczba 
daje resztę 1 z dzielenia przez 9, więc liczba 
daje resztę 5 z dzielenia przez 9. Wystarczy porównać obie reszty.
Dowieść, że 
nie jest kwadratem liczby całkowitej dla żadnego naturalnego 
Kwadrat liczby naturalnej może dawać resztę z dzielenia przez 9 równą 0, 1, 4 lub 7. Liczba 
daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, co 
czyli 2, 3, 5 lub 8.
Wykazać, że dla liczb całkowitych dodatnich 
i 
zachodzi nierówność 
Zapisując 
i 
otrzymamy
 |
Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie 
które spełniają równość 
Z poprzedniego zadania i indukcji mamy 
Wobec tego dla 
zachodzą nierówności
 |
Dla 
mamy 
Wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość wyrażenia 
dla całkowitych dodatnich 
Można użyć następujących oszacowań:
 |
Trzeba jeszcze wskazać takie 
dla których osiągane są skrajne wartości.
Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba naturalna mniejsza od iloczynu swoich cyfr w zapisie dziesiętnym.
Rozważmy liczbę 
-cyfrową 
o pierwszej cyfrze 
Iloczyn cyfr liczby 
nie przekracza 
natomiast 
Taka liczba nie istnieje.
Dla pewnego całkowitego dodatniego 
liczby 
i 
mają taką samą pierwszą cyfrę. Wykazać, że tą cyfrą jest 3.
Niech 
będzie pierwszą cyfrą 
i 
Zapiszmy 
oraz 
Mnożąc te dwie nierówności, otrzymamy 
z czego wnioskujemy, że 
i w konsekwencji 
Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych 
dla których 
Przypuśćmy, że nierówność 
zachodzi tylko dla skończenie wielu 
Wtedy istnieje takie 
że dla wszystkich 
mamy 
Stąd dla wszystkich 
zachodzi nierówność 
gdzie 
jest pewną stałą. Z drugiej strony, 
więc liczba 
ma co najwyżej 
cyfr.
będzie liczbą składającą się w zapisie dziesiętnym z 
jedynek. Mamy
i 
są względnie pierwsze dla 
Załóżmy, że obie te liczby są podzielne przez liczbę pierwszą 
Oczywiście liczba 
jest nieparzysta. Ponieważ 
więc 
Skoro jednak 
dzieli 
to 
co przeczy wcześniej poczynionej uwadze o nieparzystości 
i kończy rozwiązanie zadania.
- czyli spełniała zależność 
(mod 
) - to po pomnożeniu wszystkich jej wyrazów przez 
- czyli permutację należącą do zbioru 
(mod 
) (taki element 
(mnożenie przez 
) oraz 
(mnożenie przez 
) są wzajemnie odwrotne. To dowodzi, że zbiór 
do obu stron daje
są nieparzyste, to lewa strona powyższej równości jest podzielna przez 4, w przeciwieństwie do prawej strony, co kończy rozwiązanie zadania.
dla 
będzie liczbą liczb pierwszych w zbiorze 
Wśród pierwszych 2020 liczb całkowitych dodatnich jest więcej niż 13 liczb pierwszych, zatem 
Zauważmy także, że wśród liczb 
występują same liczby złożone, zatem 
Oczywiście mamy 
skąd wniosek, że istnieje taka liczba 
dla której mamy 
To kończy rozwiązanie zadania.