Delta mi!

Rozważamy równanie

(*)

gdzie jest funkcją Eulera, a jest daną liczbą pierwszą. Wykazać, że równanie (*):

a)

ma co najmniej jedno rozwiązanie,

b)

ma skończoną liczbę rozwiązań,

c)

może mieć dowolnie wiele rozwiązań (w zależności od ).

Wyznaczyć największą liczbę naturalną, która jest wspólnym dzielnikiem liczb oraz dla pewnej liczby naturalnej

Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele czwórek różnych liczb naturalnych o tej własności, że każdy z iloczynów jest o 1 większy od kwadratu pewnej liczby naturalnej.

Dana jest liczba całkowita Każdy bok i każdą przekątną -kąta foremnego pomalowano przy użyciu jednego z kolorów w taki sposób, że dla każdej trójki kolorów istnieje trójkąt o bokach w tych właśnie kolorach wyznaczony przez trzy spośród wierzchołków danego -kąta. Wykazać, że jest liczbą nieparzystą.

Dana jest liczba nieparzysta Każdy bok i każdą przekątną -kąta foremnego pomalowano przy użyciu jednego z kolorów w taki sposób, że dwa odcinki mają ten sam kolor dokładnie wtedy, gdy są równoległe. Wykazać, że dla każdej trójki kolorów istnieje trójkąt o bokach w tych właśnie kolorach wyznaczony przez trzy spośród wierzchołków danego -kąta.

Dany jest wielomian o współczynnikach całkowitych oraz względnie pierwsze dodatnie liczby całkowite i Udowodnić, że jeśli oraz to

Czy w wyrażeniu można zamienić niektóre znaki " " na " " w ten sposób, by wynik był równy

Na tablicy napisano trzycyfrowych liczb pierwszych. Możemy zmazać dwie zapisane na tablicy liczby i zamiast nich zapisać wartość bezwzględną ich różnicy. Postępujemy tak aż do momentu, gdy na tablicy pozostanie jedna liczba. Czy tą liczbą może być

W kręgu stoi drzew, na każdym siedzi jeden wróbel. Wróble przelatują czasem na inne drzewa, ale zgodnie z regułą: dwa wróble lecą jednocześnie, każdy na drzewo sąsiadujące z tym, na którym siedział, jeden zgodnie, a drugi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Czy jest możliwe, aby w pewnej chwili wszystkie wróble siedziały na tym samym drzewie?

Jedno dziecko ma cukierków, drugie a trzecie Każde z nich może w dowolnej chwili dać po jednym swoim cukierku pozostałej dwójce. Czy dzieląc się w ten sposób, dzieci mogą doprowadzić do tego, by każde z nich miało cukierków?

Na polu A1 szachownicy napisano liczbę 1, na A8 napisano -1, a na pozostałych polach 0. Możemy wielokrotnie wykonywać następującą operację: wybieramy dowolne pole i zmniejszamy napisaną na nim liczbę o liczbę pól sąsiednich (mających wspólny bok), zaś każdą z liczb napisanych na polach sąsiednich zwiększamy o 1. Rozstrzygnąć, czy można doprowadzić do stanu, w którym na wszystkich polach szachownicy napisana jest liczba 0.

Płaszczyznę podzielono na trójkąty równoboczne w ten sposób, że w każdym wierzchołku (węźle) spotyka się sześć trójkątów. W każdym węźle znajduje się lampka, natomiast na każdym trójkącie jest włącznik, który zmienia stan lampek (świeci albo nie świeci) znajdujących się w węzłach będących wierzchołkami tego trójkąta. Rozstrzygnąć, czy zaczynając od sytuacji, w której świeci się dokładnie jedna lampka, możemy doprowadzić do zgaszenia wszystkich lampek.

Każdą liczbę naturalną pomalowano pewnym kolorem w taki sposób, że jeśli są liczbami naturalnymi, to liczby i mają ten sam kolor. Dowieść, że wszystkie liczby naturalne większe od mają ten sam kolor.

Niech będzie liczbą naturalną. Udowodnić przez indukcję, że:
(a) dla (b)

Udowodnić nierówność Bernoulliego: dla wszystkich liczb rzeczywistych i liczb naturalnych

Wiadomo, że oraz dla Wykazać, że dla wszystkich naturalnych

Udowodnić małe twierdzenie Fermata: dla każdej liczby pierwszej i liczby naturalnej

Niech będzie liczbą naturalną. Dowieść, że istnieje -cyfrowa wielokrotność liczby w której zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry i

Na stole leży stosów monet, po jednej w każdym. W danej chwili możemy połączyć dwa dowolnie wybrane stosy w jeden. Jeśli połączymy stos monet ze stosem monet, to zapisujemy iloczyn Te czynności wykonujemy aż do uzyskania jednego stosu monet. Dowieść, że suma zapisanych iloczynów wynosi

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze które można zapisać w postaci sumy całkowite) tak, by liczba była kwadratem liczby całkowitej.