Delta mi!

Rozważmy ciąg oraz dla Zauważmy, że para jest minusjedynkująca dokładnie wtedy, gdy tzn. Jeśli w ciągu jest wyrazów równych 1, to szukana liczba jest równa

a więc jest nie większa od

Uwaga. Można zauważyć, że przyjmując np. dla uzyskujemy dokładnie par minusjedynkujących.

Ponieważ 1 oraz -1 są liczbami nieparzystymi, więc w każdej z par zerujących liczby i są różnej parzystości. To oznacza, że takich par jest co najwyżej tyle, co zbiorów z jedną liczbą parzystą i jedną nieparzystą. Tych ostatnich jest dokładnie

Uwaga. Można zauważyć, że przyjmując np. dla uzyskujemy dokładnie par zerujących.

Dla zachodzi nierówność więc w tym przedziale nie leży żaden wyraz ciągu W każdym dalszym przedziale dodatniości funkcji tangens leży jeden wyraz. Tak więc Wobec określenia wynika stąd, że oraz

W takim razie A skoro (oraz gdy ), zatem

Jest to możliwe. Przedstawimy jedną z możliwych konstrukcji.

Niech będzie dowolną dodatnią liczbą nieparzystą. Spójrzmy na ciąg

w którym pojedyncza strzałka oznacza jedną z dopuszczalnych operacji , zaś podwójna strzałka oznacza wielokrotne dodanie lub odjęcie dwójki, przebiegające monotonicznie przez wszystkie liczby tej samej parzystości, co liczby połączone tą podwójną strzałką. Na przykład dla mamy ciąg

(jedynie dla strzałka czyli jest "pusta"). W tak określonym ciągu występują wszystkie liczby naturalne z przedziału każda jednorazowo.

Wystarczy teraz określić liczby wzorem rekurencyjnym i zastosować podaną konstrukcję w każdym z przedziałów

Podaną równość rekurencyjną podnosimy stronami do kwadratu (zastępując literkę literką i dostajemy równoważną zależność

Dodajemy te równości dla otrzymując

Stąd od razu widać, że (dla ), i wobec tego

gdzie - jak zwykle - oznacza sumę odwrotności liczb naturalnych od 1 do Zależności (1) i (2) dają oszacowanie

Skoro mamy stąd

Liczby uzyskane po prawej stronie tworzą ciąg zbieżny do zera; wynika to na przykład ze znanej równości asymptotycznej ; albo - bardziej elementarnie - z nierówności (nietrudnej do wykazania przez indukcję). Dwustronne oszacowanie (3) pokazuje, że

Ciąg powstaje przez iterowanie funkcji którą będziemy badać na przedziale Ponieważ maleje od wartości do wartości zatem odwzorowuje przedział na siebie i ma w tym przedziale dokładnie jeden punkt stały (tj. taki, że ). Obrazem przedziału jest przedział i na odwrót. Stąd wniosek, że wyrazy ciągu o numerach parzystych należą do jednego z tych przedziałów, a te o nieparzystych - do drugiego.

Równość przepisujemy jako Funkcja jest rosnąca; przy tym

wobec czego

(1)

Ponieważ (z założenia) zatem zaś

Użyjemy rachunku pochodnych. Oznaczmy (dla krótkości): i zauważmy, że Niech Wówczas

i dalej:

(2)

Dla mamy nierówność (por. (1)), więc wyrażenie w nawiasie po prawej stronie (2) ma w tych punktach wartość dodatnią. To znaczy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale ; a ponieważ zatem

(3)

Ciąg leży w przedziale i jest generowany rekurencyjnie wzorem Nierówność (3) pokazuje, że jest to ciąg malejący, i w konsekwencji zbieżny. Jego granica musi być punktem stałym funkcji ; jednak nie ma takiego punktu w przedziale otwartym (nierówność (3)). W takim razie granicą tego ciągu musi być liczba 1.

Funkcja ciągła przeprowadza ten ciąg na ciąg rosnący którego granicą jest wobec tego liczba To dowodzi, że niezależnie od wyboru wyrazu początkowego ciąg ma podciągi zbieżne do dwóch różnych granic: 1 oraz 2 (i do żadnej innej, bo dowolny podciąg ma nieskończenie wiele wspólnych wyrazów z jednym ze znalezionych podciągów, zbieżnych do 1 lub 2).

Udowodnimy, że taka liczba nie istnieje.

Przyjmijmy oznaczenie Bezpośrednio sprawdzamy, że dla dowolnego zachodzi równość

Ponadto, jeżeli jest dodatnią liczbą całkowitą, to

więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Udowodnimy, że dla każdego zachodzi równość

(*)

co w połączeniu z obserwacją z poprzedniego akapitu zakończy dowód.

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla równość jest spełniona. Przypuśćmy, że zachodzi ona dla pewnego ; wówczas

co oznacza, że zachodzi również dla To kończy rozwiązanie.

Istnieje. Przykład Autora (W. Bednarek): ciąg

Bierzemy dowolnie utworzoną sumę skończenie wielu wyrazów, o numerach :

Suma w dużym nawiasie jest liczbą nieparzystą (jej pierwszy składnik to jedynka). Gdyby dla pewnej liczby naturalnej zachodziła równość wówczas pisząc w postaci ( nieparzyste) i przyrównując potęgi dwójki w i w uzyskalibyśmy równość ; oczywista sprzeczność.

Pozostaje zauważyć, że ciąg o wyrazach jest ograniczony.

Niech będzie funkcją, spełniającą postawione warunki, i przyjmijmy, że funkcja nie jest stała. Istnieją więc liczby dla których W drugim z warunków, podanych w zadaniu, przyjmujemy i tworzymy ciąg arytmetyczny Skoro zatem (dla wszystkich ). Jednocześnie czyli

(1)

Analogicznie

(2)

W myśl pierwszego z podanych warunków,

Po lewej stronie wstawiamy wyrażenia (1), (2) i dostajemy nierówności

(3)

Dla dużych wyrażenia ujęte w symbol wartości bezwzględnej mają wartość dodatnią (bo ). Można więc opuścić moduły. Ale zależność (3) - po skasowaniu modułów - redukuje się do postaci ; sprzeczność.

W konsekwencji funkcja musi być stała. Jasne, że każda funkcja postaci spełnia wymagane warunki.

Zgodnie z uwagą wyżej, prawa strona to liczba pokryć paska kwadratami i prostokątami Każde takie pokrycie musi zawierać co najmniej elementów, w tym co najmniej jeden kwadrat. Jeśli w pokryciu wśród pierwszych elementów jest dokładnie kwadratów (i prostokątów ), to można je rozmieścić na sposobów i pokrywają one w sumie prostokąt Pozostały fragment paska można pokryć na sposobów. Tę drugą interpretację opisuje lewa strona tożsamości, stąd teza.

Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą. Zauważmy, że każda mniejsza od wielokrotność liczby

jest podzielna przez sumę swoich cyfr. Rzeczywiście, suma cyfr każdej takiej liczby jest nie większa od i podzielna przez więc jest dzielnikiem liczby a tym bardziej dowolnej jej wielokrotności.

Wystarczy więc udowodnić, że dla każdego można dobrać takie aby spełniona była nierówność

a szukany ciąg arytmetyczny będą wówczas tworzyły liczby dla

Zauważmy, że każda liczba pierwsza wchodzi do rozkładu liczby na czynniki pierwsze z wykładnikiem a zatem nie większym od Wobec tego

gdzie mnożenie przebiega liczby pierwsze oraz skorzystaliśmy z nierówności zasugerowanej we wskazówce do zadania (prawdziwej dla gdzie jest pewną dodatnią liczbą całkowitą).

Ponieważ więc dla pewnej dodatniej liczby całkowitej Do zakończenia rozwiązania wystarczy przyjąć

Różnica to liczba cyfr użytych do zapisania wszystkich liczb -cyfrowych. Jest tych liczb czyli ; zatem W zapisie każdej z nich cyfra wiodąca jest różna od zera; po jej odrzuceniu, pozostała część zapisu to dowolny ciąg długości złożony z dowolnych cyfr (formalnie - słowo z alfabetu 10-elementowego).

Jest tych słów jest w nich więc cyfr, a wszystkie cyfry są równouprawnione. Dziesiąta część spośród nich to zera. To znaczy, że w zapisie wszystkich liczb -cyfrowych mamy zer. Tak więc Pisząc widzimy, że ciągi i spełniają identyczną zależność rekurencyjną. Ponieważ wynika stąd, że (dla ), czyli (dla ).

Teza zadania: (mod ) - po wprowadzeniu określenia liczby i dodaniu stronami jedynki - ma postać

Liczba jest pierwsza, więc zachodzi dla (małe twierdzenie Fermata). Dalej indukcja: przyjmijmy słuszność dla pewnego ; istnieje zatem liczba dla której Odejmujemy stronami jedynkę i mamy Z określenia wynika ponadto, że (mod ). Tak więc

Uzyskaliśmy zależność z zastąpionym przez To kończy dowód indukcyjny.

Ciąg spełnia warunek W takim razie

Podobnie otrzymujemy

Odejmując otrzymane wartości, dostajemy