Delta mi!

Niech będzie liczbą całkowitą dodatnią. Zastanówmy się, ile jest liczb mniejszych od  , które występują w obu danych ciągach (każdą liczbę liczymy tyle razy, ile razy wystąpiła). Otóż nierówność jest równoważna innymi słowy . To oznacza, że w pierwszym ciągu takich liczb mamy dokładnie  . Analogicznie w drugim ciągu jest ich  , co łącznie daje . Dla liczby niewymiernej  mamy , stąd:

To oznacza, że , bo jest to liczba całkowita. Wiemy w takim razie, że liczb mniejszych od jest w obu tych ciągach dokładnie . Podobnie dowodzimy, że liczb mniejszych od jest dokładnie Odejmując te wyniki, wnioskujemy, że liczba pojawia się w tych ciągach dokładnie raz.

Określamy parę ciągów wzorami:

(1)

Wówczas oraz

co pokazuje, że jest ciągiem danym w zadaniu. Ze wzorów (1) dostajemy równość

a ponieważ wynika stąd, że

Określamy parę ciągów wzorami:

(2)

Wówczas oraz

co pokazuje, że jest ciągiem danym w zadaniu. Ze wzorów (1) dostajemy równość

a ponieważ wynika stąd, że

Ustalmy  Widać, że jest liczbą nieparzystą. Niech będzie jej dowolnym dzielnikiem pierwszym. Dostajemy zależność

Po podniesieniu do potęgi  (i skorzystaniu z małego twierdzenia Fermata: ),

(3)

Za chwilę wykażemy, że

(4)

Równość (mod  ) prawych stron (2) i (3) oznacza, że

Dla parzystego warunek (4) mówi, że lub dla pewnego  ; zatem lub Każdy dzielnik pierwszy liczby  ma więc taką postać. Dowolny dzielnik dodatni (jako iloczyn pewnej liczby dzielników pierwszych) wtedy też jest tej postaci.

Dla nieparzystego warunek (4) implikuje lub czyli lub I znów, dowolny iloczyn takich liczb też jest liczbą tej postaci. W obu przypadkach liczby postaci nie mogą być dzielnikami liczby 

Pozostaje udowodnić wzór (3). Przyjmijmy (dla ustalonego  ) oznaczenia:

Iloczyn  liczy czynników. Łączymy je z czynnikami iloczynu  w pary o sumie (czyli  ). Otrzymujemy związek (mod  ). Stąd

Wystarczy teraz podzielić przez czynnik (względnie pierwszy z ), by uzyskać wzór (3) i zakończyć rozwiązanie.

Wystarczy znaleźć ciągi dodatnich liczb wymiernych o podanych własnościach; mnożąc ich wyrazy przez wspólny mianownik dostaniemy ciągi liczb naturalnych, o jakie chodzi.

Ustalmy . Funkcja ma w punkcie pochodną równą  , więc jej iloraz różnicowy jest mniejszy od  dla bliskich  :

Weźmy dowolną liczbę wymierną , mniejszą od liczb . Wówczas

Przyjmijmy teraz

Tak określone ciągi i  spełniają postulowane warunki: zachodzą nierówności ; zaś zależności dla , czyli , to nierówność Bernoulliego.