Delta mi!

Energie kwantów promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez atom wodoru opisuje zależność

gdzie oznacza częstość fali, a i to numery poziomów energetycznych, między którymi zaszło przejście promieniste . Częstość promieniowania związana jest z długością fali wzorem Zakres długości fal rejestrowanych przez ludzkie oko odpowiada więc zakresowi energii . Jeśli wyrazimy otrzymany zakres energii za pomocą stałej Rydberga, to otrzymamy

Jak łatwo sprawdzić, wszystkie przejścia promieniste na poziom odpowiadają energiom większym od górnej granicy przedziału widzialnego, a na poziom energiom mniejszym od dolnej granicy tego obszaru . W badanym obszarze znajdują się linie o i (ostatnie trzy linie wypadają w obszarze promieniowania nadfioletowego - za jego granicę przyjmuje się nm). Jest to tak zwana seria Balmera.

W zewnętrznym zjawisku fotoelektrycznym energia padających kwantów światła i maksymalna energia kinetyczna elektronów wybijanych z katody spełniają związek:

Przyłożenie do elektrod fotokomórki napięcia do którego pokonania nie wystarczy maksymalna energia kinetyczna uzyskiwana przez elektrony, całkowicie wygasza prąd przez fotokomórkę. Mamy więc:

Jeśli napięcie przyspieszające elektrony w kierunku anody jest wystarczająco duże, to wszystkie elektrony wybite z katody docierają do anody i wtedy przez fotokomórkę płynie prąd nasycenia (dalsze zwiększanie napięcia nie zwiększa prądu). Odpowiada to sytuacji, kiedy każdy padający foton wybija jeden elektron, który dociera do anody. Prąd nasycenia wynosi więc:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy (odpowiednio dla i :

oraz

Zgodnie z kryterium Rayleigha granica rozdzielczości obrazu uzyskanego za pomocą przyrządu o średnicy i fali o długości wynosi gdzie oznacza najmniejszy kąt tworzony przez kierunki, pod jakimi widzimy dwa punkty jako rozdzielone. Będzie to więc kąt, pod jakim widzimy najmniejsze rozróżnialne szczegóły o wielkości z odległości Światło widzialne odpowiada długościom fal świetlnych z przedziału od 380 do 770 nm. Do oszacowania przyjmijmy Jak się wydaje, do odczytania tablicy rejestracyjnej wystarczy rozróżnianie szczegółów o wielkości Mamy więc:

a stąd

Ponieważ różnica dróg promieni docierających ze źródła do punktu po ugięciu na dwóch szczelinach wynosi Maksimum oświetlenia rejestrujemy, gdy gdzie jest liczbą całkowitą. Odległość źródła od osi układu jest mała, możemy więc stosować przybliżenie małych kątów: stąd Droga przebyta przez źródło w czasie równym okresowi zmian oświetlenia punktu wynosi Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Różnica dróg optycznych promieni odbitych od górnej i dolnej powierzchni warstwy gdzie jest grubością warstwy. Oba promienie odbijają się od ośrodka gęstszego optycznie, warunki na minima interferencyjne dla obu długości fal mają więc postać:

gdzie Stąd:

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy Najmniejsze liczby całkowite nieujemne spełniające to równanie to , Szukana grubość warstwy

Zgodnie ze wzorem soczewkowym

obraz w pierwszej soczewce powstaje w odległości od tej soczewki. Obraz ten jest przedmiotem pozornym dla soczewki położonym w Oznaczając przez odległość obrazu od drugiej soczewki po przejściu światła przez układ, otrzymujemy ze wzoru soczewkowego:

czyli Odległość punktu od osi optycznej drugiej soczewki wynika ze wzoru na powiększenie:

Szukana odległość między przedmiotem i obrazem wynosi

Przyjmijmy, że dla plamy współczynnik transmisji wynosi a odbicia Niech dla reszty kartki odpowiednie współczynniki wynoszą i Plama "znika", gdy źródło jest w odległości a źródło w odległości od kartki (patrzymy od strony ). Mamy wówczas (oświetlenia obu części kartki są równe):

czyli

Zamieńmy teraz miejscami źródła światła (obserwujemy kartkę z tej samej strony) i wyznaczmy nowe odległości, dla których plama "znika": i Otrzymujemy analogiczne równania ( jest teraz od strony obserwatora):

Po podzieleniu stronami (z obserwacji wiemy, że odpowiednie różnice współczynników są różne od zera) otrzymujemy:

Ze względu na sposób produkcji papieru obie strony kartki różnią się i drugi, niezależny pomiar możemy uzyskać po odwróceniu kartki i powtórzeniu procedury.

Przedstawiony tu fotometr został zaproponowany przez Roberta Wilhelma Bunsena w roku 1843, a ulepszony sposób jego użycia podał D.W. Lewis w Nature 40, 174 (1889).

Szukany współczynnik załamania możemy znaleźć ze wzoru na zdolność skupiającą soczewki okularów:

gdzie i są promieniami krzywizny powierzchni soczewki. Są one dodatnie, gdy powierzchnia soczewki jest wypukła, i ujemne, gdy powierzchnia jest wklęsła. Odległość ucznia od soczewki jest stała i wynosi Gdy nauczyciel patrzy na ucznia przez okulary, widzi jego obraz pozorny w odległości stąd

Soczewki okularów są rozpraszające.

Gdy nauczyciel jest odwrócony do tablicy, jeden z obrazów odległy o powstaje w wyniku odbicia od powierzchni soczewki bliższej oka. Zdolność skupiająca takiego zwierciadła wynosi Musimy rozważyć dwa przypadki:

a)

powierzchnia soczewki jest płaska,

b)

powierzchnia jest wypukła, czyli

Drugi obraz obserwowany przez nauczyciela odwróconego do tablicy, odległy od niego o powstaje w wyniku przejścia światła przez soczewkę, odbiciu od powierzchni o zdolności skupiającej dalszej od oka i ponownym przejściu przez soczewkę. Zdolność skupiająca takiego układu wynosi

Rozważamy ponownie dwa przypadki:

a)

b)

Przypadek b) musimy odrzucić, bo soczewka szklana dwuwypukła nie może być rozpraszająca. W przypadku a) soczewka jest płasko-wklęsła wykonana ze szkła o współczynniku załamania

Długofalowa granica zjawiska fotoelektrycznego określa pracę wyjścia elektronu, charakterystyczną dla metalu, z którego zrobiona jest fotokatoda: gdzie to stała Plancka. W rozpatrywanym przypadku Skoro siatka, mająca potencjał zatrzymuje wszystkie fotoelektrony, to ich energia kinetyczna gdzie i to masa i ładunek elektronu, a - jego prędkość, przy czym znak równości odpowiada elektronom o maksymalnej prędkości Energia, potrzebna do wykonania pracy wyjścia i nadania elektronowi prędkości, pochodzi od fotonu o częstości więc zgodnie z prawem zachowania energii mamy

(równanie Einsteina). Stąd, korzystając z otrzymanych zależności, mamy

i ostatecznie

a po podstawieniu danych liczbowych

Rozważymy promień równoległy do osi optycznej, który po przejściu przez soczewkę pada na powierzchnię sferyczną pod kątem i załamuje się pod kątem Odległość środka krzywizny od punktu przecięcia promienia załamanego z osią optyczną soczewki wynosi gdzie Podstawiając, otrzymujemy

Funkcja maleje ze wzrostem kąta Gdy promień pada na koniec soczewki, kąt jest maksymalny i spełnia równanie Dla podanych danych liczbowych maksymalny kąt jest większy od kąta granicznego, zatem wszystkie promienie wiązki padające na soczewkę załamują się na jej powierzchni sferycznej. Skrajne promienie wiązki przecinają oś optyczną w odległości od ekranu. Zgodnie z (*),

gdzie jest ogniskową cienkiej soczewki płaskowypukłej. Szukana średnica plamki na ekranie dana jest wzorem

gdzie jest średnicą soczewki.

Camera obscura to nieprzezroczysta skrzynka z niewielkim otworkiem z przodu i matówką albo kliszą fotograficzną zamykającą ją od tyłu. Na kliszę, przez otworek działający jak obiektyw w aparacie fotograficznym, padają promienie pochodzące od poszczególnych punktów fotografowanego obiektu, tworząc jego pomniejszony obraz. Aby na fotografii było widać osobne tygrysie pręgi, obszary kliszy i na które padają promienie pochodzące od najbliższych punktów sąsiednich pręg, nie mogą się przekrywać. Warunek ten będzie spełniony dla głębokości kamery Ponieważ więc skąd Korzystając z tego, że otrzymujemy Tak więc głębokość kamery powinna być większa niż .

a) Różnica dróg promieni biegnących od centrum płytki i z punktu odległego o od centrum płytki do środka ekranu umieszczonego w odległości od płytki wynosi: W przybliżeniu

Miejsca, z których biegnące fale osłabiałyby falę biegnącą z centrum płytki, powinny być nieprzezroczyste. Zachodzi dla nich związek: gdzie Stąd

Pierwszy nieprzezroczysty pierścień ma promień wewnętrzny , zewnętrzny , drugi , . b) niech szukana odległość wynosi Chcemy, żeby różnica dróg promieni przechodzących przez punkt odległy o od środka płytki i przechodzących przez środek płytki była taka sama, jak w przypadku wiązki równoległej:

Stąd

Zgodnie z warunkami zadania gdzie i - natężenia wiązki padającej i przechodzącej dla pierwszego polaryzatora.

Gdyby polaryzator nie pochłaniał światła, to natężenie wiązki spolaryzowanej byłoby równe połowie natężenia padającej wiązki niespolaryzowanej. To, że oznacza, że polaryzator częściowo pochłania światło. Jeżeli przepuszcza on, ze względu na pochłanianie, tylko procent padającej wiązki, to Gdy światło przechodzi przez dwa polaryzatory, to

Aby obliczyć skorzystamy z prawa Malusa, które mówi, że natężenia światła spolaryzowanego padającego na polaryzator i z niego wychodzącego związane są wzorem gdzie jest kątem między płaszczyzną polaryzacji światła padającego i płaszczyzną polaryzacji polaryzatora. Dodatkowo musimy uwzględnić to, że także w drugim polaryzatorze światło jest pochłaniane. Mamy więc: a stąd co daje

Każdy foton odbity od płytki dostarcza jej pęd równy gdzie to pęd fotonu padającego, a - pęd fotonu odbitego. Dla powierzchni doskonale odbijającej pędy i mają tę samą wartość ale różnią się zwrotem, stąd zmiana pędu płytki wynosi Energia padających na płytkę w ciągu 1 s fotonów jest z definicji równa padającej na płytkę mocy Ponieważ pęd fotonu wiąże się z jego energią wzorem gdzie to prędkość światła, więc suma pędów fotonów padających na płytkę w czasie 1 s wynosi a pęd uzyskany przez płytkę w ciągu wynosi Zmiana pędu płytki w ciągu na mocy drugiej zasady dynamiki, jest równa działającej sile, więc Ponieważ wychylenie wahadła wiąże się z siłą wzorem znajdujemy, że potrzebna moc to (przyjęliśmy, że dla kąt padania wiązki nie zmienia się). Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy Dla wiązki światła laserowego o średnicy daje to gęstość mocy około czyli z zakresu gęstości mocy stosowanych w technologiach cięcia i spawania metali.

Niech oznacza odległość przedmiotu od soczewki. Zgodnie ze wzorem soczewkowym odległość obrazu od soczewki dana jest wzorem i dla przedmiotu rzeczywistego, gdy , spełnia warunki

(1)

Soczewka rozpraszająca daje zawsze obraz pozorny przedmiotu rzeczywistego. Obraz ten jest przedmiotem rzeczywistym dla zwierciadła, odległym od niego o Zgodnie z (1)

(2)

Obraz w zwierciadle musi być przedmiotem pozornym dla soczewki, zatem jego odległość od zwierciadła spełnia warunek Soczewka rozpraszająca daje rzeczywisty obraz przedmiotu pozornego, gdy odległość tego przedmiotu spełnia warunek czyli Stąd Zatem spełnione są warunki

Korzystając z równania zwierciadła

gdzie jest ogniskową zwierciadła, otrzymujemy następujące ograniczenia:

a biorąc pod uwagę warunek (2), dostajemy

Ostatecznie szukana ogniskowa zwierciadła jest równa

Rys. 1

Aby skonstruować obraz przedmiotu, jaki powstaje w soczewce, musimy odpowiedzieć na pytania: jak biegnie promień równoległy do osi optycznej po przejściu przez soczewkę oraz jak biegnie promień przechodzący przez środek soczewki. W przypadku promienia równoległego możemy wprowadzić umieszczony w powietrzu układ zastępczy, złożony ze stykających się cienkich soczewek - szklanej o promieniach krzywizny oraz płasko-wklęsłej soczewki wodnej (Rys. 1). Odwrotność ogniskowej takiego układu jest sumą odwrotności poszczególnych soczewek:

Rys. 2

Oznaczmy kąt padania na środek soczewki promienia wychodzącego z końca przedmiotu (Rys. 2) przez a kąt załamania tego promienia przez Ponieważ przedmiot jest mały, mamy zgodnie z prawem załamania. Korzystając z rysunku 2 i przybliżenia małych kątów, otrzymujemy związki: gdzie jest odległością obrazu od soczewki, wysokością obrazu. Z podobieństwa odpowiednich trójkątów mamy też:

Stąd , a szukane powiększenie dane jest wzorem

Z każdego punktu Słońca na soczewkę albo zwierciadło pada wiązka promieni równoległych. Wiązki wychodzące z różnych punktów nie są równoległe do siebie. Obraz Słońca powstaje w płaszczyźnie ogniskowej soczewki albo zwierciadła, a jego promień wynosi gdzie jest promieniem kątowym Słońca widzianego z Ziemi, a ogniskową soczewki albo zwierciadła. Obraz pozorny Słońca w zwierciadle wypukłym o ogniskowej ma promień jest przedmiotem dla zwierciadła wklęsłego o ogniskowej i znajduje się w odległości od niego równej Obraz, który powstaje w zwierciadle wklęsłym, oddalony jest od niego o

Powiększenie tego obrazu wynosi

zatem jego promień to

Szukana ogniskowa soczewki wynosi

Powietrze ma mniejszy współczynnik załamania niż woda, co oznacza, że nie zachodzi całkowite odbicie promieni padających na powierzchnię wody. Zatem w rozważanych warunkach rybka zawsze może zobaczyć wędkarza.

Okres wahadła a stąd jego długość Długość obrazu wahadła jest więc znacznie mniejsza od jego długości rzeczywistej Oznacza to, że poszukiwana odległość od kamery do wahadła wielokrotnie przewyższa ogniskową obiektywu Stąd z kolei wynika, że obraz wahadła znajduje się bardzo blisko ogniska obiektywu, a więc odległość od obiektywu do kliszy, na której powstaje obraz, jest w przybliżeniu równa Stąd wynika, że czyli

Podczas ruchu światła w ośrodku niejednorodnym zmienia się kąt jaki tworzy styczna do toru z osią Zgodnie z prawem załamania zachodzi związek Rozważmy ruch punktu materialnego, którego prędkość wzdłuż granicy ośrodków jest stała:

gdzie jest prędkością na granicy ośrodków, stąd

Widzimy, że przy zadanym współczynniku załamania punkt materialny porusza się jak pod działaniem stałej siły skierowanej pionowo w dół. Z zasady zachowania energii mamy bowiem:

gdzie jest stałym przyspieszeniem cząstki i wynosi Korzystając ze wzorów dla rzutu ukośnego w polu stałej siły, otrzymujemy dla maksymalną odległość między punktami wejścia i wyjścia promienia z ośrodka niejednorodnego

Promień nie może przy tym przejść do górnego ośrodka jednorodnego, musi więc być spełniony warunek czyli W przeciwnym przypadku odległość między punktami wejścia i wyjścia promienia odpowiada takiemu kątowi dla którego promień jest styczny do górnej granicy rozdziału ośrodków:

stąd

Atom w stanie podstawowym pochłonie foton (wiązki laserowej) o energii odpowiadającej stanowi wzbudzonemu, a następnie, średnio po czasie wyemituje go w losowym kierunku. W każdym akcie absorpcji foton przekazuje atomowi swój pęd w wyniku czego atom zmniejsza swą prędkość (pęd fotonu jest przeciwnie skierowany do pędu atomu) o Proces powtórzy się po wyemitowaniu pochłoniętego fotonu, tj. po czasie Ze względu na losowy kierunek emisji średni pęd emitowanego fotonu wynosi zero. Atomy poruszają się więc ze średnim opóźnieniem a droga przebyta do zatrzymania wynosi

Opisaną tu metodę "chłodzenia" atomów zaproponowali T. W. Hänsch (nagroda Nobla 2005) i A. L. Schawlow (Nagroda Nobla 1981) w pracy w Optics Communications 15, 68 (1975) skąd zaczerpnięte zostały także dane liczbowe zadania.

Aby uwzględnić wielokrotne odbicia od powierzchni poszczególnych płytek wewnątrz ich stosu, szukamy wzoru rekurencyjnego pokazującego, jak zmienia się współczynnik transmisji stosu przy dodaniu kolejnej płytki. Przyjmijmy, że transmisja stosu płytek wynosi Dodając jeszcze jedną płytkę, dostajemy "złożony" stos składający się z płytek. Niech na ten stos pada światło o natężeniu Oznaczmy natężenia światła rozchodzącego się na zewnątrz i wewnątrz "złożonego" stosu jak na rysunku.

Korzystając z tego, że współczynnik odbicia to dostajemy układ równań

Rozwiązując go, znajdujemy wyrażenie rekurencyjne na odwrotność transmisji układu płytek, zdefiniowanej jako :

Dla dwóch płytek mamy

dla trzech mamy

Kontynuując takie postępowanie dla stosu składającego się z płytek, dostajemy

a stąd znajdujemy jego transmisję

Rys. 1

Rys. 2

Niech pierwszy promień wychodzący z przedmiotu przechodzi przez ognisko soczewki skupiającej, jego dalszy bieg przedstawiony jest na rysunku 1. Drugi promień przechodzi przez środek soczewki skupiającej, chcemy znaleźć jego kierunek po przejściu przez soczewkę rozpraszającą. Wiemy, że gdy na soczewkę rozpraszającą pada równoległa wiązka światła pod pewnym kątem do osi optycznej, przedłużenia promieni przechodzących przez soczewkę przecinają się w jej płaszczyźnie ogniskowej (Rys. 2). Na rysunku 1 narysujmy trzeci promień pomocniczy, który przechodzi przez środek soczewki rozpraszającej równolegle do promienia drugiego. Przedłużenie promienia 2 przecina się z promieniem 3 w płaszczyźnie ogniskowej soczewki rozpraszającej, a z promieniem 1 tam, gdzie znajduje się szukany obraz przedmiotu. Aby sprawdzić poprawność konstrukcji, możemy wykonać obliczenia. Obraz w soczewce skupiającej powstaje w odległości . Jest on przedmiotem pozornym dla drugiej soczewki: . Odległość obrazu od drugiej soczewki . Jest to obraz pozorny, który znajduje się między soczewkami w środku odległości między nimi.

Jeżeli w płaszczyźnie ogniskowej soczewki w odległości od ogniska umieścimy punkt świecący to promienie wychodzące z tego punktu po przejściu przez soczewkę utworzą wiązkę równoległą nachyloną do osi optycznej soczewki pod kątem przy czym (Rys. 1). Po wycięciu części środkowej i zetknięciu połówek soczewki, promienie wychodzące z punktu tworzą przecinające się wiązki równoległe. Z rysunku 2 widać, że maksymalna odległość, w jakiej można ustawić ekran, aby wiązki te interferowały ze sobą, wynosi

Niech ekran znajduje się w dowolnej odległości od soczewki, mniejszej niż Na środku ekranu powstaje maksimum interferencyjne. Aby w p. w odległości od środka ekranu powstało -te maksimum (Rys. 3), promienie i muszą się wzmacniać, zatem ich różnica dróg optycznych wynosi Droga optyczna promienia jest taka sama jak promienia Promienie z wiązki równoległej mają w punktach i zgodne fazy, zatem

Odległość między sąsiednimi prążkami wynosi

Jeżeli na siatkę pada prostopadle do jej powierzchni równoległa, monochromatyczna wiązka światła, to maksima dyfrakcyjne rozkładają się symetrycznie względem maksimum centralnego (zerowego). Położenia kątowe  maksimów (względem prostej prostopadłej do powierzchni siatki) są dane wzorem  gdzie  jest rzędem dyfrakcji. Ponieważ kąt dyfrakcji nie może być większy od  oraz  więc maksymalny rząd obserwowanego maksimum to  Według warunków zadania obserwuje się 7 maksimów, co oznacza, że  stąd stała siatki spełnia nierówność  Równocześnie liczba maksimów nie może być mniejsza niż 7, co oznacza, że  Ostatecznie więc stała siatki musi mieścić się w granicach  czyli

Rozważmy dowolny promień przechodzący przez pryzmat. Oznaczmy jego kąt odchylenia w pryzmacie przez   a kąt przecięcia promienia wychodzącego z pryzmatu z osią optyczną przez  Dla małych kątów  Niech punkt   będzie przecięciem przedłużenia promienia wychodzącego z pryzmatu z prostą prostopadłą do osi optycznej przechodzącą przez   Mamy związki:

Długość odcinka  wynosi

i nie zależy od kąta padania światła na pryzmat, zatem przedłużenia wszystkich promieni wychodzących z pryzmatu przecinają się w tym samym punkcie. Promienie wychodzące z dwóch pryzmatów interferują ze sobą tak, jakby pochodziły z dwóch źródeł  i  (od dolnego pryzmatu) odległych od siebie o   Wzór na pierwsze maksimum interferencyjne ma postać:  Szukana odległość między maksimami wynosi:

Niech natężenie światła po przejściu przez pierwszy polaryzator wynosi Zgodnie z prawem Malusa natężenie światła po przejściu przez drugi polaryzator wynosi Kąt między osiami polaryzacji drugiego i trzeciego polaryzatora wynosi Natężenie światła za trzecim z polaryzatorów wynosi więc

Natężenie światła będzie największe dla a najmniejsze (wygaszenie) dla i to znaczy dla dodatkowego polaryzatora ustawionego równolegle do osi polaryzacji pierwszego albo ostatniego z polaryzatorów.

Załamanie promienia przy wejściu do kuli przy kącie padania i kącie załamania spowoduje jego odchylenie od kierunku padania o kąt Każde odbicie wewnątrz kuli spowoduje odchylenie jego kierunku o kat zawsze w tę samą stronę. Wreszcie przy wyjściu z kuli promień w wyniku załamania odchyli się o kąt Stąd całkowita kąt odchylenia po odbiciach będzie równy: