Delta mi!

Niech będą liczbami o rozważanej własności. Wielomian o pierwiastkach

ma współczynniki nieujemne, co wynika z podanych założeń:

Skoro zatem dla Brak pierwiastków dodatnich oznacza, że

Na odwrót, gdy zadane nierówności są spełnione. Rozwiązaniem zadania są czwórki z

Tak, istnieją. Rozważmy liczbę

Jeśli jest ona wymierna, to żądana własność zachodzi dla liczb W przeciwnym przypadku warunki zadania spełniają liczby niewymierne
wtedy bowiem

Oznaczmy ilorazy widoczne pod symbolem pierwiastka kolejno: (więc itd.). Wobec cykliczności można przyjąć, że Dalej oznaczmy

i odnotujmy dolne oszacowania:

Jeśli teraz (czyli ), wówczas

Jeśli natomiast (czyli ), wówczas

W obu przypadkach mamy po lewej stronie liczbę mniejszą niż rozważana suma ; zaś po prawej stronie - sumę trzech liczb, których iloczyn wynosi Z nierówności między średnimi dostajemy oszacowanie Liczba spełnia wymagany warunek

(Tę wartość wraz z powyższym uzasadnieniem, zaproponował pan Piotr Kumor, autor zadania; kto da więcej?).

Niech Przypuśćmy, że dla ustalonej liczby istnieją dwa różne wielomiany stopnia spełniające podane równanie. Oznaczmy ich współczynniki wiodące przez (więc ); Przyrównując współczynniki wiodące po obu stronach równania widzimy, że (dla ). Zatem Stąd wynika, że różnica jest niezerowym wielomianem stopnia

Odejmujemy stronami równania (dla ) i przekształcamy uzyskaną równość:

Iloczyn po prawej stronie jest wielomianem stopnia wielomian po lewej stronie ma stopień To już sprzeczność, skoro ; dwa różne wielomiany stopnia o podanej własności istnieć nie mogą.

Przypuśćmy nie wprost, że

Wówczas w szczególności skąd i analogicznie oraz Ponadto mamy

a więc

Łącząc te nierówności otrzymujemy

co z kolei w połączeniu z przyjętym założeniem nie wprost prowadzi do

Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Przy oznaczeniach

(1)

mamy związki:

z których wynika tożsamość

(2)

Gdy liczby są naturalne, czynnik musi być kwadratem liczby naturalnej; więc Zgodnie z (1), jest to suma liczb których iloczyn wynosi 1. Zatem to pierwiastki trójmianu kwadratowego

(3)

istnieją (w ) gdy ; i są wówczas dodatnie. Wyznaczamy je zwykłą metodą, podnosimy do trzeciej potęgi, i dostajemy wniosek:

(4)

Rozumowanie można odwrócić. Dla dowolnej liczby naturalnej określamy wzorami (4) parę liczb rzeczywistych, wzajemnie odwrotnych: oraz (jedna ze znakiem plus w nawiasie, druga ze znakiem minus). Wówczas są pierwiastkami trójmianu (3); ich suma wynosi Liczby zdefiniowane wzorami (1), spełniają równość (2); a ponieważ zatem prawa strona wzoru (2) jest kwadratem liczby całkowitej, więc liczba jest całkowita (liczba oczywiście też).

Wzór (4), z parametrem przedstawia ogólną postać liczb o rozważanej w zadaniu własności.

Gdy jest funkcją stałą, implikacja jest oczywista. Dalej przyjmijmy, że jest wielomianem stopnia dodatniego. Wielomian ma taki sam stopień, a przy tym przyjmuje - zgodnie z założeniem - wyłącznie wartości nieujemne. Jest to więc wielomian stopnia parzystego. Ten sam stopień ma zarówno wielomian jak i wielomian Każdy z tych wielomianów, jako funkcja ciągła zmiennej rzeczywistej, mająca granicę przy przyjmuje w pewnym punkcie osi liczbowej swoją wartość minimalną. Niech więc

W punkcie, realizującym minimum, pochodna jest równa zeru: Zauważmy, że, w myśl założenia zadania,

Podstawiając dostajemy Jest to wartość minimalna wielomianu zatem

Podstawiamy i mamy To wartość minimalna wielomianu Zatem dla

Niech będą liczbami nieujemnymi, spełniającymi podany układ równań. Ich suma, więc i jej kwadrat, wynosi 1; wobec tego

Wstawiając to do drugiego równania układu, po prostym przekształceniu dostajemy równanie

(1)

Funkcja jest ściśle wypukła w przedziale zatem spełnia nierówność Jensena

(2)

Równanie (1) oznacza, że (dla rozważanych liczb ) nierówność (2) staje się równością, co ma miejsce jedynie, gdy te liczby są równe. Ich suma jest jedynką, więc ; ta trójka liczb spełnia oba równania układu i stanowi jego jedyne rozwiązanie.

Udowodnimy najpierw, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych oraz dodatniej liczby całkowitej zachodzi nierówność

Rzeczywiście, przekształcając tę nierówność równoważnie, otrzymujemy

Przyjmując w powyższej nierówności dla mnożąc otrzymane związki stronami i korzystając z założenia zadania, uzyskujemy

Mnożąc daną równość stronami przez uzyskujemy

skąd