Tag: Liczby rzeczywiste

Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 5
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Niech $H$ dla całkowitych dodatnich $k.$ Udowodnić, że $|H1$ dla naturalnych $|n⩾ 2.$

Wskazówka

Skorzystać z tożsamości (1 z artykułu) dla $a = 1, k k$ gdzie $k ∈{1,2,...,n −1}.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 6
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Niech $d(k)$ oznacza liczbę dzielników liczby naturalnej $k,$ zaś $H$ - jak w poprzednim zadaniu. Dowieść, że

$Hn$

Wskazówka

Rozważyć takie pary $| (a,b),$ dla których $| b a,$ gdzie $| a,b ∈{1,2,...,n}.$ Po sporządzeniu tabeli w kolumnach mamy kolejno $d(1),d(2), ...,d(n)$ par, a w wierszach $⌊n/1⌋,⌊n/2⌋,...,⌊n/n⌋$ par. Trzeba jeszcze zastosować nierówność $x − 1 < ⌊x⌋⩽ x.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 7
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Wykazać, że dla każdego naturalnego $|n ⩾2$ zachodzi równość

$√2-- √3-- √n-- ⌊ n ⌋+ ⌊ n ⌋+ ...+⌊ n ⌋= ⌊log2 n⌋+ ⌊log3n⌋ +...+ ⌊lognn⌋.$

Wskazówka

W tabeli dla $a,b ∈ {2,3,...,n}$ zaznaczamy takie pola $(a, b),$ dla których $|ab⩽ n.$ Wówczas w $|a$ -tej kolumnie mamy $⌊logan ⌋− 1$ zaznaczonych pól, zaś w $b$ -tym wierszu jest ich $√ -- ⌊ bn ⌋− 1.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Matematyka

Gauss, czyli tam i z powrotem»Zadanie 8
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Gauss, czyli tam i z powrotem

Publikacja w Delcie: marzec 2020

Publikacja elektroniczna: 1 marca 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (427 KB)
Niech $|d(k)$ będzie jak w zadaniu 6. Ustalmy liczbę rzeczywistą $|x > 1.$ Dowieść, że dla wszystkich naturalnych $n ⩾ 1$ zachodzi nierówność

$d(1)-+ d(2)-+...+ d(n)- < --1--+ --1---+ ...+ --1---. x1 x2 xn x1− 1 x2 − 1 xn− 1$

Wskazówka

Ponieważ $x > 1,$ mamy $-1-- 1- -1- |xk−1 = xk + x2k +...$ Dla $|a,b ∈{1,2,...,n}$ w polu $|(a,b)$ tabeli umieszczamy liczbę $|1xa-,$ jeśli $|b a,$ w przeciwnym razie umieszczamy 0. Sumując kolumnami, otrzymamy lewą stronę dowodzonej nierówności, natomiast wierszami - liczbę mniejszą od prawej strony.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Klub 44M - zadania I 2020»Zadanie 794
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania I 2020

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (367 KB)

Zadanie 794 zaproponował pan Mikołaj Pater.
Dla liczb rzeczywistych $x,y,z ⩾ 0$ przyjmijmy: $----------- |R(x,y,z) = √ x2 + y2 +z2 ,Q(x, .$ Wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość wyrażenia

$1 1 1 ------------------+ -------------------+ ------------------- R(a,b, c)Q(b, R(b, c,d)Q(a, R(a, c,d)Q(a,$

dla liczb $|a,b,c,d ⩾ 0$ spełniających warunek $|2a+ 2b + 3c+ 2d ⩽ 6$ oraz wyznaczyć wszystkie czwórki $(a,b,c,d),$ dla których to minimum jest osiągane.

Rozwiązanie

Rozważane wyrażenie oznaczmy literą $W$ (stale zakładamy, że wszystkie mianowniki są dodatnie). Dwukrotnie stosujemy nierówność między średnimi (po drodze przegrupowując czynniki):

$pict$

Ponownie używając nierówności między średnimi (wartości $|R2$ i $2Q2$ ), dostajemy oszacowanie

$R(a,b,c)Q(a,$

czyli $√ ------------------- | R(a, b,c)Q(a, ⩽ 2−3~4(a + b+ c).$ Stąd i z analogicznego oszacowania dla trójek $(b,c,d),(a, c,d)$ uzyskujemy kontynuację wcześniejszego ciągu nierówności:

$3 ⋅23~4 2 33 ⋅23~2 3 W⩾ 3 (-----------------------------------) = ------------------2 ⩾ √--- (a + b+ c)+ (b + c+ d) +(a + c+ d) (2a + 2b +3c + 2d) 2$

(bo $2a + 2b +3c + 2d⩽ 6$ z założenia). Znaleziona wartość zostaje osiągnięta, gdy wszystkie nierówności stają się równościami; więc gdy $|2a+ 2b + 3c+ 2d = 6$ oraz

$√ ------------------- R(a,b,c)Q(a, = 2−3~4(a + b +c), √ ------------------- R(b,c,d)Q(b, = 2−3~4(b+ c+ d), √ ------------------- R(a,c,d)Q(a, = 2 −3~4(a+ c +d),$
przy czym te trzy wartości też muszą być równe(!). To wymusza równości $a = b = d$ oraz $6a + 3c = 6.$ Ponadto - oznaczając krótko $|R(a,b,c) = R(b,c,d) = R(a, c,d) = R$ (i podobnie $Q$ ) - musimy mieć równość $R2 = 2Q2$ (do takiej pary też była stosowana nierówność między średnimi) - czyli $2 2 2 2a | +c = 4ac+ 2a .$ Wraz z równością $|6a+ 3c = 6$ daje to alternatywę: $a = 1,c = 0$ lub $a = 13,c = 43.$ Dla czwórek $|(a,b,c,d) = (1,1,0,1)$ oraz $( 1, 1, 4 , 1) 3 3 3 3$ wyznaczone oszacowanie $√ -- |W⩾ 3/ 2$ przechodzi w równość. Zatem szukane minimum wynosi $√-- |3/ 2 .$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 1
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Udowodnić, że $a3 +b3 + c3 = 3abc$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a + b +c = 0$ lub $|a = b = c.$

Wskazówka

Wykorzystać tożsamość (3) z artykułu i najważniejszą nierówność na świecie (zob. kącik nr 5).
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 2
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Liczby rzeczywiste $a,b$ spełniają równość $a3 + b3 + 1 = 3ab.$ Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia $|a +b.$

Wskazówka

W równości (3) z artykułu przyjąć $c = 1.$ Są tu dwa przypadki do rozważania.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 3
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Liczby $x,y,z$ są rzeczywiste. Udowodnić, że jeśli

$3√----- 3√----- 3√----- y − z + z − x + x − y = 0,$

to pewne dwie z liczb $x,y, z$ są równe.

Wskazówka

Skorzystać z lematu dla liczb $√3----- √3----- a = y −z ,b = z −x$ i $√3----- c = x − y.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 4
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Udowodnić nierówność pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:

$3√---- x-+y-+-z- xyz ⩽ 3 dla x,y,z > 0.$

Wskazówka

Przyjąć $√-- √-- a = 3x ,b = 3y$ i $√ -- |c = 3z$ w tożsamości.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 6
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Wyznaczyć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $(x, y,z),$ które spełniają równości

$2 2 2 3 3 3 x + y +z = x + y +z = x + y + z = 1.$

Wskazówka

Zachodzi równość $(x + y +z)3 = x3 + y3 + z3$ i dzięki tożsamości (1) z artykułu dochodzimy do wniosku, że wśród liczb $x, y,z$ występuje co najmniej jedna para liczb przeciwnych.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 9
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Udowodnić, że $3273 +2983 < 3953.$ Uczynić to bez pomocy kalkulatora, wykonując przy tym możliwie najmniej rachunków.

Wskazówka

Korzystając z równości (1) z artykułu, otrzymujemy

$3 3 3 3 327 + 298 − 395 = 230 − 3 ⋅625 ⋅68 ⋅97 = 500(46 ⋅529− 255 ⋅97).$

Dalej można np. zauważyć, że $255 ⋅97 = 46 ⋅510 + 255⋅5.$
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste, Rachunki, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Szły raz drogą trzy sześciany»Zadanie 11
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Szły raz drogą trzy sześciany

Publikacja w Delcie: styczeń 2020

Publikacja elektroniczna: 31 grudnia 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (377 KB)
Różne liczby rzeczywiste $x,y,z$ spełniają równość

$√3----2- √3----2- √3----2- (x− y) 1− z + (y− z) 1− x + (z− x) 1− y = 0.$

Dowieść, że $|(1− x3)(1− y3)(1− z3) = (1− xyz)3.$

Wskazówka

Skorzystać z lematu z artykułu dla $√3-----3 3√ ----3- a = (y −z) 1− x ,b = (z −x) 1− y$ i $3√ ------ |c = (x −y) 1− z3.$ Następnie zauważyć, że

$(y− z)3(1− x3)+ (z −x)3(1 −y3) + (x− y)3(1− z3) = 3 3 3 3 3 3 = (y −z) ++(z − x) + (x − y) + (zx −xy) + (xy − yz) + (yz − zx)$
i dwukrotnie użyć równości (4) z artykułu.
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Klub 44M - zadania XI 2019»Zadanie 789
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania XI 2019

Publikacja w Delcie: listopad 2019

Publikacja elektroniczna: 31 października 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (376 KB)
Znaleźć wszystkie funkcje $f R R$ spełniające równanie

$2 f( f(x) + y) = 4yf (x) + f (x − y) dla x,y ∈ R.$

Rozwiązanie

Podstawmy, kolejno, $|y =− f(x)$ oraz $y = x2$ ; otrzymujemy równania

$2 2 f(0) =− 4 f(x) + f (x + f(x))$

oraz

$2 2 f( f(x) + x ) = 4x f (x)+ f(0),$

które po dodaniu stronami i redukcji dają związek $f (x)( f(x) − x2) = 0.$ Zatem dla każdej liczby $|x ∈R$ ma miejsce alternatywa: $| f(x) = 0$ lub $| f(x) = x2.$ Stąd, w szczególności, $f (0) = 0.$

Jeśli $x = 0$ jest jedynym miejscem zerowym funkcji $| f,$ to $f (x) = x2$ dla wszystkich $x.$ Łatwo sprawdzić, że ta funkcja spełnia zadane równanie. Pozostaje przypadek, gdy $f$ ma jeszcze jakieś miejsce zerowe $|a≠ 0.$ Wykażemy, że wówczas $| f$ jest tożsamościowo równa zeru.

Przypuśćmy, że $| f(b) ≠ 0$ dla pewnego $b.$ Biorąc w zadanym równaniu $|x = a,y = b,$ dostajemy $f(b) = f(a2 −b)$ ; ta liczba nie jest zerem, więc z wcześniejszej alternatywy wynika, że wynosi ona jednocześnie $b2$ oraz $2 2 |(a − b) .$ Przyrównanie tych wartości daje równość $2 2b = a .$ To liczba dodatnia; stąd $f ≡ 0$ w przedziale $|(−∞ ,0].$ Weźmy teraz dowolną liczbę $|c > 0$ i w wyjściowym równaniu podstawmy $√ -- |y = c,x = − c$ (już wiemy, że $f (−√ c) = 0$ ). Wychodzi $f(c) = 0.$ Tak więc $f ≡ 0$ także w przedziale $|(0,∞ ).$

Wniosek (odpowiedź): jedynymi funkcjami spełniającymi podane równanie są: $| f(x) = 0$ (dla wszystkich $x$ ) oraz $2 f (x) = x$ (dla wszystkich $|x$ ).
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Trójmian kwadratowy»Zadanie 1
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Liczby rzeczywiste $x ⩽ x 1 2$ i $y ⩽y 1 2$ spełniają równości $|x + x = y + y 1 2 1 2$ oraz $|x1x2 = y1y2.$ Udowodnić, że $x1 = y1$ i $x2 = y2.$

Wskazówka

Liczby $x 1$ i $x 2$ są, na mocy wzorów Viete'a, pierwiastkami tego samego trójmianu kwadratowego, co liczby $y1$ oraz $|y2.$
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Trójmian kwadratowy»Zadanie 2
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Niech $|a,a ,...,a 1 2 n$ będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Dla jakiego $|x$ wartość funkcji
$2 2 2 f(x) = (x − a1) + (x −a2) +...+ (x − an)$
jest najmniejsza?

Wskazówka

Po wymnożeniu mamy
$2 2 2 f(x) = nx − 2(a1 + ...+an)x + (a1 +...+ an),$
wartość najmniejsza dla
$a1 +-...+-an x = n .$
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Trójmian kwadratowy»Zadanie 3
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Liczby rzeczywiste $a,b$ i $|c$ spełniają nierówność $(a + b+ c)c < 0,$ przy czym $a ≠ 0.$ Wykazać, że $2 |b > 4ac.$

Wskazówka

Niech $| f(x) = ax2 + bx + c.$ Wówczas mamy $f(1) f(0) < 0,$ więc funkcja $| f$ przyjmuje zarówno dodatnie i ujemne wartości, skąd $∆ > 0.$
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Trójmian kwadratowy»Zadanie 4
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Niech $|T(x) = x2 + 4x + 2.$ Znaleźć wszystkie rozwiązania równania $|T(T (T(x))) = 0.$

Wskazówka

Mamy $T (x) = (x + 2)2− 2,$ więc $T (T (T(x))) = (x +2)8 −2.$ Stąd $8√ -- |x = − 8− 2$ lub $√8-- x = −8+ 2.$
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste, Równania

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Trójmian kwadratowy»Zadanie 5
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Wyznaczyć wszystkie pary $(b,c)$ liczb rzeczywistych, dla których trójmian kwadratowy $2 x + bx +c$ ma dwa różne pierwiastki i są nimi $|b$ i $c.$

Wskazówka

Na mocy wzorów Viete'a otrzymujemy równania $b + c = −b$ i $bc = c.$ Jedyną parą spełniającą warunki jest $(1,− 2).$
Narzędzia

Obiekty

Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Trójmian kwadratowy»Zadanie 6
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Wykorzystując funkcję kwadratową
$2 2 2 f (x) = (a1x + b1) +(a2x + b2) + ...+ (anx + bn) ,$
udowodnić nierówność Cauchy'ego-Schwarza
$(a21 +a22 + ...+a2n)(b21 + b22 + ...+ b2n) ⩾(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2.$

Wskazówka

Mamy
$2 2 2 2 2 f (x) = (a1 +...+ an)x + 2(a1b1 + ... +anbn)x + (b1 +...+ bn).$
Funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, więc $∆ ⩽ 0.$ Jest to nierówność równoważna dowodzonej.
Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste

Słowa kluczowe

Kategoria

Algebra

Trójmian kwadratowy»Zadanie 7
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Trójmian kwadratowy

Publikacja w Delcie: październik 2019

Publikacja elektroniczna: 30 września 2019

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (388 KB)
Liczby $m,$ oraz $|m2+ n2 n m$ są całkowite. Udowodnić, że liczba $m2 |-- n$ również jest całkowita.

Wskazówka

Niech $b = − m2 − n2- n m$ oraz $c | = m2⋅ n2-= mn. n m$ Liczby $b |$ i $c$ są całkowite, zaś liczby wymierne $m2 |n$ i $n2 |m$ są pierwiastkami trójmianu (unormowanego) $|x2 + bx + c,$ więc są całkowite.