Przeskocz do treści

Delta mi!

Narzędzia

Obiekty

Liczby rzeczywiste , Nierówności

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Zadanie ZM-K44-590
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: marzec 2010

Publikacja elektroniczna: 6 lipca 2010
Dowieść, że dla każdej parzystej liczby naturalnej $\text{[math]}$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $\text{[math]}$ zachodzi nierówność
$display-math$

Rozwiązanie

Zadana nierówność zachodzi dla $\text{[math]}$ . Dla $\text{[math]}$ przepisujemy ją równoważnie jako

$pict$

i w tej postaci będziemy jej dowodzić.
Dla każdej pary liczb rzeczywistych $\text{[math]}$ ma miejsce równość

$pict$

gdzie $\text{[math]}$ . Kontynuujemy przekształcenia dla $\text{[math]}$ :

$display-math$ (2)

ostatnia nierówność powstała przez odrzucenie z uzyskanej sumy wszystkich składników z wyjątkiem pierwszego – są one liczbami nieujemnymi, bo wykładniki potęg są parzyste.
Podstawiamy teraz w (2) $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ i dostajemy dowodzoną nierówność (1).