Delta mi!

Załóżmy najpierw, że i rozważmy doświadczenie losowe polegające na rzucaniu monetą tak długo, dopóki razy wypadnie orzeł lub razy reszka. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w pojedynczym rzucie wynosi zaś reszki Zauważmy, że prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie zakończy się w rzucie (dla ) z powodu wypadnięcia orłów wynosi a z powodu wypadnięcia reszek - Sumując prawdopodobieństwa poszczególnych możliwości zakończenia doświadczenia, otrzymujemy

Po wstawieniu lewa strona tożsamości jest wielomianem zmiennej który jest tożsamościowo równy na przedziale więc jest on równy dla wszystkich rzeczywistych.

Przyjmijmy oznaczenia:

Ponieważ oraz (nier. Cauchy'ego-Schwarza), zatem

Wystarczy rozważyć przypadek, gdy (więc ). Wówczas

Wobec tego

To znaczy, że postulowana nierówność podwójna zachodzi ze stałymi (dla oczywiście też).

Biorąc teraz np. uzyskujemy równość (z podaną stałą ); zaś zmieniając znak w i dostajemy równość (z podaną stałą ). Znalezione stałe są więc optymalne.

(a) Ponieważ iloczyn liczb dla wynosi to korzystając z nierówności między średnimi, dostajemy

Odejmując od obu stron nierówności sumę

dostajemy tezę.

(b) W punkcie (b) będziemy korzystać z następującego lematu: jeśli ciągi liczb rzeczywistych i spełniają

oraz

to wówczas

Załóżmy, że ciąg jest nierosnący:

Wówczas

i z lematu dostajemy

co dowodzi (2). Gdy ciąg jest niemalejący, postępujemy analogicznie.

Teraz (3) otrzymujemy łatwo przez dodanie nierówności (1) i (2) stronami.

Niech oznacza największą z liczb Popatrzmy na wyraz naszej sumy:

i oznaczmy większy ze składników z mianownika, lub przez Popatrzmy teraz na wyraz naszej sumy:

i oznaczmy większy ze składników z mianownika, lub przez Kontynuując to postępowanie, otrzymujemy ciąg indeksów

Ponieważ nierówność, którą chcemy udowodnić, jest cykliczna, możemy bez utraty ogólności przyjąć, że Z definicji mamy lub Zatem po pewnej liczbie kroków po raz pierwszy otrzymamy lub Ponadto bo w każdym kroku przesuwamy się o co najwyżej dwa. Zauważmy też, że

Stosując teraz nierówność między średnimi, otrzymujemy

Zauważmy, że

więc

Zauważmy, że

więc

Skorzystamy ze znanej nierówności ; we wszystkich symbolach sumowania przyjmujemy Przy warunku mamy więc Dla każdej liczby rzeczywistej słuszne jest oszacowanie Stąd

czyli

W uzyskanej zależności można osiągnąć równość, biorąc na przykład

Widać, że Dla mamy przy tym

zaś dla :

Tak więc

(dla tak określonych liczb ; można dać wiele innych przykładów). Wniosek: liczba to szukane minimum.

Wymnażając wyrażenia w nawiasach i redukując wyrazy podobne, dostajemy równoważną nierówność

która jest prawdziwa wobec nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną.

Przykład dla

Rozważmy szachownicę o wierszach i kolumnach, której każde pole pomalowano na czarno z prawdopodobieństwem a z prawdopodobieństwem pozostawiono białe. Prawdopodobieństwo, że wybrany wiersz jest cały czarny jest wówczas równe (bo każde z pól musi być czarne), więc prawdopodobieństwo, że istnieje w nim białe pole wynosi

Niech oznacza zdarzenie: w każdym wierszu jest co najmniej jedno białe pole. Wierszy jest ; wobec powyższej obserwacji Analogicznie niech oznacza zdarzenie: w każdej kolumnie istnieje pole czarne, wówczas

Jeśli nie zachodzi zdarzenie czyli nie jest prawdą, że w każdym wierszu jest białe pole, to istnieje wiersz o wszystkich polach czarnych. Wtedy na pewno w każdej kolumnie jest czarne pole (choćby z tego właśnie wiersza), czyli zachodzi zdarzenie Wobec tego zawsze zachodzi co najmniej jedno spośród zdarzeń i stąd czyli

Niech dla Udowodnimy, że dla każdego Bezpośrednie wymnożenie wskazuje, że dla Zatem

Ponieważ dla więc W efekcie co jest równoważne nierówności Ponieważ więc z zależności i związku otrzymujemy dla oraz dla W myśl określenia funkcji powyższe nierówności można zapisać w postaci dla oraz dla Stąd zaś, po wymnożeniu stronami i skorzystaniu z warunku (1), uzyskujemy

Idąc za odruchem przekształcania, sprowadzamy równanie do postaci skąd otrzymujemy i podstawiamy:

Oczywiście

zatem

Oznaczmy  gdzie  jest ciągiem indeksów (mamy  takich ciągów). Niech również  Wówczas  oraz  więc z nierówności Schwarza dostajemy

Odp. Tak!
Liczbę  kolorujemy na kolor o numerze  Załóżmy, że  dla pewnych liczb nieujemnych  i przyjmijmy, że  Załóżmy, że  i   mają ten sam kolor. Niech  czyli  dla pewnej liczby całkowitej  Wówczas  dla pewnej liczby całkowitej  Zatem  więc  Ponieważ  więc liczba  ma w opisanym przez nas kolorowaniu inny kolor niż liczby  i 

Pokażemy, że nie istnieje żądane kolorowanie liczb całkowitych, więc w szczególności nie da się pokolorować liczb rzeczywistych. (Jest to bardzo szczególny przypadek twierdzenia van der Waerdena o kolorowaniu.)

Załóżmy, że pokolorowaliśmy liczby całkowite nieujemne i liczba   jest biała. Jedna z liczb  też musi być biała. Nazwijmy ją   Wówczas liczby  i   muszą być czarne. Zatem ich średnia  musi być biała. Dostaliśmy więc trzy białe liczby  co daje sprzeczność.

Można przyjąć, że Nierówność daną do udowodnienia przepisujemy w równoważnej postaci

Lewa strona nie zmieni się, gdy ją pomnożymy przez liczbę 1, zapisaną (zgodnie z założeniem) jako suma odwrotności liczb :

(*)

Wystarczy teraz wykazać, że ciągi i o wyrazach

są odwrotnie uporządkowane; nierówność Czebyszewa da wówczas dowodzoną tezę

Przyjęliśmy, że więc ciąg jest nierosnący; chcemy pokazać, że ciąg jest niemalejący. Funkcja maleje w przedziale oraz rośnie w przedziale Zatem fragment ciągu który leży w przedziale wyznacza niemalejący fragment ciągu o wyrazach Skoro jednak to w przedziale może leżeć co najwyżej jeden wyraz ciągu czyli liczba Pozostaje dowieść, że wówczas Z założenia więc skąd (po prostym przekształceniu) Stąd, ostatecznie,

To kończy dowód nierówności równoważnej z tezą zadania.

Liczby      muszą być różne od zera. Przepisujemy pierwsze równanie jako  i dalej (cyklicznie)

(1)

Mnożymy stronami:

(2)

Gdyby któraś z różnic  była zerem, to wobec zależności (1) wszystkie byłyby zerami, czyli liczby      byłyby równe. To się jednak kłóci z nierównością, daną w założeniach. Różnice te są więc różne od zera. Równanie (2) po skróceniu daje wynik: ; jedynymi możliwymi wartościami iloczynu   są liczby  oraz   Każda z nich jest faktycznie osiągalna – na przykład dla  oraz

Bez utraty ogólności możemy założyć, że  Wówczas

Zauważmy, że dla mamy

Zatem w szczególności

Zauważmy, że funkcja jest kawałkami liniowa i ograniczona z dołu przez W takim razie przyjmuje minimum w jednym z węzłów Nietrudno sprawdzić, że jest to

Nieskończony ciąg takich par  możemy uzyskać na przykład biorąc ciąg Fibonacciego  i określając

Dla każdego  mamy wówczas

a zatem suma

jest liczbą całkowitą.