Delta mi!

Przyjmijmy i ustalmy prostokątny układ współrzędnych, w którym wierzchołkami sześcianu są punkty a rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę jest punkt o współrzędnych Zatem ; zaś płaszczyzna jest dana równaniem

Załóżmy, że ma ona punkty wspólne ze wszystkimi ścianami sześcianu; więc np. ze ścianą o wierzchołkach Każda z półprzestrzeni ( ) musi zawierać jeden z tych czterech wierzchołków. Zatem przy pewnym doborze znaków mamy nierówność Skoro znaczy to, że

Analogicznie oraz Dodajemy te trzy nierówności i otrzymujemy

czyli, równoważnie,

Lewa strona to kwadrat odległości punktu od punktu Tak więc A ponieważ ostatecznie

Gdy wszystkie nierówności stają się równościami; płaszczyzna o równaniu leży w odległości od i spotyka wszystkie ściany. Dla szukane maksimum wynosi więc ; zaś w przypadku ogólnym - po przeskalowaniu - wynosi

Niech będzie wierzchołkiem kostki, odległym od stołu o Oznaczmy długość krawędzi kostki przez Łatwo zauważyć, że odcinki oraz muszą być krawędziami sześcianu (wynika to z faktu, że jeśli krawędziami są i to jest ścianą). Niech będzie długością krawędzi sześcianu. Dobierzmy układ współrzędnych tak, by i Oznaczmy przez rzut prostokątny punktu na prostą prostopadłą do stołu, przechodzącą przez ; wówczas Przyjmijmy wtedy i Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych dla dostajemy

Wykorzystując powyższe równości oraz dostajemy i Po podniesieniu ostatnich trzech równości do kwadratu i zsumowaniu, otrzymamy zatem

Sześcian wypełniają trzy kopie czworościanu przedstawionego na poniższym rysunku obok i trzy kopie jego lustrzanego odbicia, co Czytelnik Uważny zobaczy na kolejnym rysunku.

Rozważmy dowolny czworościan w którym są punktami styczności sfery wpisanej i ścian leżących odpowiednio naprzeciw wierzchołków

Wyznaczymy miary kątów oraz w zależności od miar kątów wewnętrznych ścian czworościanu (które są dane, gdy dana jest siatka).

Zauważmy, że na mocy cechy bok-bok-bok, pary: i i i to pary trójkątów przystających; oznaczmy kąty wewnętrzne przy wierzchołku w poszczególnych z nich odpowiednio przez Wówczas

skąd wniosek, że

Podobnie uzyskujemy równość

Ponieważ dodawanie i odejmowanie kątów, a także prowadzenie dwusiecznej są wykonalne konstrukcyjnie, więc powyższe równości bezpośrednio przenoszą się na żądaną konstrukcję punktu styczności ze ścianą Dla pozostałych ścian konstrukcja jest w pełni analogiczna.

Odpowiedź: Taki wielościan istnieje.

Rozważmy prostopadłościan o wymiarach

Przecinając ten prostopadłościan płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi o długości rozetniemy go na dwa przystające prostopadłościany o wymiarach Każdy z nich jest podobny do w skali

Z warunków zadania wynika, że oraz gdyż są to pary przekątnych przystających prostokątów.

Oznaczmy przez promień sfery Jeżeli sfery są parami styczne, to pewne dwie z nich - bez straty ogólności i - są styczne zewnętrznie, czyli Jeśli jest styczna zewnętrznie do i to i wystarczy przyjąć

Wówczas sfera będzie styczna wewnętrznie do pozostałych trzech sfer, gdyż

i analogicznie

Jeżeli zaś sfera jest styczna wewnętrznie do i to

i tym razem wystarczy przyjąć

Wówczas

więc sfera będzie styczna zewnętrznie do i oraz styczna wewnętrznie do

Oznaczmy pewną parę przeciwległych ścian danego sześcianu przez oraz w taki sposób, aby odcinki były krawędziami sześcianu oraz ściana nie zawierała żadnego z boków uzyskanego w przekroju pięciokąta, a krawędź - żadnego z jego wierzchołków. Niech ponadto będą punktami przecięcia płaszczyzny przekroju odpowiednio z prostymi

Zauważmy, że czworokąt jest równoległobokiem, co wynika z równoległości przeciwległych ścian sześcianu. Okrąg wpisany w pięciokąt jest wpisany w ten równoległobok, skąd wniosek, że jest rombem. Wykażemy, że jest płaszczyzną symetrii tego rombu; ponieważ jest to także płaszczyzna symetrii wyjściowego sześcianu, więc wyniknie stąd, że punkty i są względem niej symetryczne, co zakończy rozwiązanie.

Skoro jest rombem, to ma prostopadłe przekątne, a zatem punkty oraz są zawarte w płaszczyźnie symetralnej odcinka Płaszczyzna ta nie pokrywa się z płaszczyzną (punkt nie należy do odcinka ), więc przecina się z nią wzdłuż prostej prostopadłej do płaszczyzny Wobec tego punkty i są symetryczne względem płaszczyzny a to właśnie należało udowodnić.

Banalny kontrprzykład: sześcian (o krawędzi ). Weźmy jego dwa przeciwległe wierzchołki (końce przekątnej długości ). Płaszczyzna przechodząca przez środek tworzy w przecięciu z sześcianem sześciokąt foremny, którego wierzchołkami są środki niektórych krawędzi sześcianu, leżące w odległości od środka

Przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez trzy wierzchołki (połączone krawędziami np. z punktem ) jest trójkątem foremnym o boku Najmniejsze koło, zawierające ów trójkąt, ma promień

Niech punkty leżą na krawędziach sześcianu tak, że (Rys. 3(a)). Wówczas podobnie i odcinki te są równoległe, więc punkty leżą w jednej płaszczyźnie, a wobec symetrii problemu równoległobok jest prostokątem.

Korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa (kolejno dla trójkątów oraz ) obliczamy, iż również zatem jest kwadratem o boku długości

Jeśli każdy z jego wierzchołków przybliżymy do jego środka o taką samą odpowiednio małą odległość, uzyskamy w rezultacie kwadrat o krawędzi 21, którego wierzchołki leżą wewnątrz danego sześcianu.

(a) Kwadrat o boku (b) Tunel o przekroju
(c) Kolorowy sześcian przesuwany przez tunel w szarym sześcianie

Wywierćmy tunel, którego przekrojem poprzecznym jest kwadrat z poprzedniego zadania (wygląda to prawie jak na Rys. 3(b)). Zauważmy, że tunel ten nie ma punktów wspólnych z żadną z krawędzi sześcianu składających się na łamaną zamkniętą (zaznaczoną na czarno na Rys. 3(a)), istotnie więc część sześcianu pozostająca wokół tunelu nie rozpada się i tworzy wielościenną obręcz, przez którą da się przesunąć sześcian o krawędzi 21 (Rys. 3(c)).

(a) Kwadrat o boku (b) Tunel o przekroju
(c) Kolorowy sześcian przesuwany przez tunel w szarym sześcianie

(a) Weźmy dowolny czworościan oraz jego najdłuższą krawędź. Przyjmijmy, że ma ona długość zaś dwie przyległe do niej ściany mają krawędzie długości oraz przy czym krawędzie mają wspólny koniec oraz krawędzie mają wspólny koniec. Wówczas oraz ; stąd wobec czego musi zachodzić co najmniej jedna z nierówności lub Zatem co najmniej jeden z końców krawędzi nie jest wierzchołkiem ciekawym.

(b) Dokładnie jeden wierzchołek ciekawy jest możliwy. Rozpocznijmy od przykładu czworościanu zdegenerowanego do czwórki punktów na płaszczyźnie w konfiguracji: - trójkąt prostokątny; - środek przeciwprostokątnej ; przy czym (np. ). Z punktu wychodzą krawędzie długości ; z punktu z punktu każda z tych trójek spełnia warunek trójkąta. Pozostaje wierzchołek - jedyny ciekawy (wspólny koniec krawędzi ). Teraz wystarczy wyjść w przestrzeń i nieznacznie przemieścić wierzchołek usuwając go prostopadle z płaszczyzny Wychodzące zeń krawędzie trochę się wydłużą. Przy małym przemieszczeniu rozważane nierówności (ostre) pozostaną w mocy; punkt nadal będzie jedynym wierzchołkiem ciekawym.

Przyda się tu "spłaszczenie" polegające na spojrzeniu na ścianę prostopadłościanu Gdyby dało się zbudować go z opisanych w zadaniu klocków, ściana ta byłaby zbudowana z prostokątów o wymiarach oraz Jednak to jest niemożliwe, gdyż figura złożona z takich prostokątów ma pole podzielne przez 3, a tymczasem ściana ma pole równe 64.

Kolorowy prostopadłościan i szary klocek przebity prostą

Prostych równoległych do pewnej krawędzi sześcianu, przechodzących przez jego wnętrze i biegnących wzdłuż linii podziału na kostki jednostkowe jest po w każdym z trzech kierunków, a więc łącznie

Załóżmy, że któraś z nich przebija nieparzystą liczbę klocków. Rozważmy prostopadłościan wyznaczony, w sposób przedstawiony na rysunku, przez tę prostą i dowolną równoległą do niej krawędź sześcianu. Wówczas objętość tego prostopadłościanu byłaby nieparzysta, bo zawierałby on po jednej kostce jednostkowej z każdego z przebitych klocków, a pozostałe klocki w całości lub po połowie. Liczba ta jest jednak jednocześnie wielokrotnością 20 (z uwagi na rozmiar sześcianu), co jest niemożliwe.

Zauważmy, że każdy klocek może być przebity przez najwyżej jedną z rozważanych prostych. Gdyby każda z nich przebijała co najmniej dwa klocki, to łącznie przebijałyby one co najmniej klocków. To także jest niemożliwe, gdyż klocków jest łącznie Wobec tego któraś z rozważanych prostych nie przechodzi przez żaden klocek.