Delta mi!

Przednia i tylna ściana danej figury mają wspólny wierzchołek, zatem nie są równoległe. Niech i oznaczają odpowiednio punkty przecięcia prostych z oraz z Wówczas każdy z punktów należy do obu płaszczyzn rozważanych powyżej ścian, a więc też do ich wspólnej prostej. Jednak punkty nie są współliniowe, zatem rysunek nie przedstawia wielościanu.

Oznaczmy przez punkt przecięcia prostych i Punkt ten leży w płaszczyźnie przekroju, zatem leży w niej też prosta Stąd brakujący punkt to punkt przecięcia prostych i

Niech będzie punktem przecięcia prostych i Z kształtu trapezu wynika, że oraz że jego pole to pola trójkąta

Z długości krawędzi trójkąta wnioskujemy, że jest on połową trójkąta równobocznego o krawędzi 2. Ponieważ oraz więc

Stąd czworościan jest foremny o krawędzi 2. Jego objętość jest zatem 8-krotnie większa od objętości czworościanu foremnego o krawędzi 1, więc szukany stosunek objętości równy jest

Prosta leży w płaszczyźnie przedniej ściany ostrosłupa z rysunku, a prosta w płaszczyźnie tylnej ściany, więc punkt należy do obydwu tych płaszczyzn. Ich częścią wspólną jest prosta równoległa do podstawy ostrosłupa (gdyż jest on prawidłowy) i przechodząca przez wierzchołek Stąd jedyną wartością, jaką może przyjąć odległość punktu od płaszczyzny podstawy, jest wysokość ostrosłupa równa

Sześcian i jego widok wzdłuż przekątnej

Krawędzie i są równoległe, leżą więc w jednej płaszczyźnie Stąd punkt też do niej należy; podobnie należy on także do Punkty również leżą w jednej płaszczyźnie.

Powyższe trzy płaszczyzny mają wspólną prostą i każda z nich zawiera inną z trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka Oznacza to, że płaszczyzny te tworzą równe kąty dwuścienne, czyli kąty po

Niech będzie punktem przecięcia prostej z prostą a różnym od punktem przecięcia tej prostej z okręgiem opisanym na trójkącie (rysunek). Wówczas oraz

W takim razie trójkąty i są podobne, w szczególności Stąd prosta jest prostopadła do a więc również równoległa do - symetralnej Analogicznie proste i są równoległe. W takim razie odcinki i przecinają się w połowie jako przekątne równoległoboku.

W podobny sposób możemy pokazać, że prosta przechodzi przez środek odcinka co daje tezę.

Jeśli każda ściana jest trójkątem, to zachodzi równość co jest niemożliwe.

Ponieważ wielościan o 7 krawędziach miałby najwyżej 4 wierzchołki, a więc najwyżej 6 krawędzi - sprzeczność.

Jeśli płaszczyzna przecina krawędzi, to przekrój ma boków i płaszczyzna ta przecina także różnych ścian (bo wielościan jest wypukły). Stąd więc zatem niemożliwe, by

Jeśli jest liczbą nieparzystą, to liczby są nieparzyste, a więc niemożliwe, by

Na mocy wzoru Eulera oraz nierówności uzyskujemy Pozostałych nierówności dowodzimy analogicznie.

Niech oznacza liczbę krawędzi ściany dla wówczas Suma kątów płaskich ścian wielościanu równa jest

Jeśli nie ma, to oraz zatem sprzeczność.

Oznaczmy przez liczbę ścian -kątnych, a przez liczbę naroży -ściennych

Wtedy oraz Stąd

Jeśli wielościan ma ścian pięciokątnych i sześciokątnych, to oraz Wielokąty są foremne, zatem w każdym wierzchołku schodzą się po trzy. Stąd czyli a więc

Zatem - wielościan ma 12 ścian pięciokątnych.

Pozostawiamy Czytelnikom uzasadnienie, że krawiec może uszyć tylko dwunastościany foremne i piłki nożne.

Szukamy wielościanów wypukłych zbudowanych z -kątów foremnych, po w każdym wierzchołku. Oznacza to, że oraz Wobec tego

przy czym Równanie to ma pięć rozwiązań.

Skądinąd znamy pięć wielościanów foremnych: dla czworościan, - sześcian, - ośmiościan, - dwunastościan i - dwudziestościan. Powyższe rozumowanie wskazuje, że więcej ich być nie może.