Delta mi!

Załóżmy, że  kul o promieniach  spełnia podaną własność (pokrywa wszystkie ściany  ). Wówczas  gdzie  to pole powierzchni bocznej   Ponadto

Stosując nierówność Höldera do ciągów  i wag    otrzymujemy

skąd

więc wystarczy przyjąć

Odpowiedź: Nie!
Zauważmy najpierw, że punkt jest środkiem symetrii zbioru Istotnie, symetria o środku przeprowadza wektor na Dla dowolnego w postaci mamy

Przypuśćmy, że dla pewnych wektorów zbiór to ośmiościan foremny i że jest najmniejsze możliwe (oczywiście ). Zauważmy, że wtedy jest ścianą czyli trójkątem równobocznym, który nie ma środka symetrii – sprzeczność.

Równoległościanem opisanym na czworościanie foremnym o krawędzi 1 jest sześcian o krawędzi

Suma odległości punktu  od dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu jest nie mniejsza od sumy odległości  od zawierających je przeciwległych ścian sześcianu, która z kolei jest większa lub równa odległości pomiędzy takimi ścianami, czyli długości krawędzi sześcianu. Czworościan ma trzy pary przeciwległych krawędzi, stąd

Tak, dla każdego czworościanu  zbudujemy czworościan  o żądanych własnościach. Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była większa od pola każdej ściany czworościanu  Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była mniejsza od objętości czworościanu

Niech  będzie czworościanem wpisanym w prostopadłościan o podstawie  i wysokości  Objętość  równa jest  Każdą ścianę czworościanu  można zrzutować na połowę podstawy prostopadłościanu, więc jej pole przekracza  Z definicji liczb  i   czworościany  i   spełniają żądane warunki.

Wykażemy, że nie można. Rozważmy czworościany  i   wpisane odpowiednio w prostopadłościany o wymiarach  oraz

Promienie opisanych na nich kul to połowy głównych przekątnych prostopadłościanów, więc są one równe:  oraz

Z twierdzenia Pitagorasa, każda ściana czworościanu  jest trójkątem o bokach  oraz  Wysokość takiego trójkąta, opuszczona na bok o długości  równa jest

Stąd pole każdej ze ścian czworościanu  równe jest

Analogicznie pole każdej ściany czworościanu  też równe jest

Czworościany  i   mają więc równe pola ścian i promienie kul opisanych. Tymczasem ich objętości są różne:  oraz

Nie. Wystarczy spojrzeć na dowolny wierzchołek: suma dwóch mniejszych kątów przy nim równa jest  czyli trzeciemu kątowi.

Nie. Kąty płaskie przy wierzchołku  spełniają warunek  Z kolei rozważając kąt trójścienny przy  oraz trójkąty prostokątne  i   wnioskujemy, że

czyli – sprzeczność.

Suma wszystkich kątów płaskich czworościanu równa jest  jako suma kątów czterech trójkątów. Wobec tego istnieje taki wierzchołek czworościanu, przy którym suma trzech kątów płaskich nie przekracza  w przeciwnym razie suma wszystkich kątów płaskich czworościanu przekraczałaby

Oznaczmy kąty płaskie przy tym wierzchołku przez  Wówczas  więc

czyli  Analogicznie  oraz

Z danych równości wynika, iż wszystkie ściany rozważanego czworościanu są trójkątami przystającymi. Oznaczmy kąty ściany  przez ; ich suma to  W każdym wierzchołku czworościanu schodzą się takie właśnie trzy kąty płaskie. Stąd  więc  czyli  Analogicznie  oraz

Obróćmy ścianę  danego czworościanu wokół krawędzi  tak, aby znalazła się w płaszczyźnie ściany  ale po przeciwnej stronie prostej  Na uzyskanym w ten sposób czworokącie  można opisać okrąg, gdyż

Analizując kąty wpisane w ten okrąg, oparte na równych łukach, dostajemy

przy czym ostatnią nierówność otrzymujemy, rozważając kąt trójścienny przy wierzchołku  czworościanu. To kończy dowód.

Niech  będzie stożkiem o wierzchołku  w który wpisana jest sfera wpisana w ostrosłup  Część wspólna tego stożka z płaszczyzną podstawy jest elipsą wpisaną w czworokąt  a punkt  jest jej ogniskiem. Teza zadania jest po prostu jedną ze znanych własności elipsy wpisanej w czworokąt.

Wykażemy, że obraz symetryczny  punktu  względem środka ciężkości  danego czworościanu należy do każdej z sześciu rozważanych płaszczyzn. Wystarczy, że udowodnimy, iż punkt  należy do płaszczyzny  przechodzącej przez punkty  i   oraz równoległej do prostej łączącej punkt  ze środkiem krawędzi

Niech  i   będą środkami krawędzi  i   Punkt  jest środkiem odcinka  a więc czworokąt  jest równoległobokiem. Zatem proste  i   są równoległe. Skoro punkt  leży w płaszczyźnie  to prosta  także. To dowodzi, że punkt  należy do płaszczyzny