Gra w sumo

Czy Czytelnik zna grę w przeciąganie liny? Dwie drużyny ciągną dwa końce liny w przeciwne strony, a wygrywa ta, której uda się przeciągnąć linę na swoją stronę. Ściślej, gra kończy się w momencie wyjścia środka liny (zazwyczaj oznaczonego wstążką) z umówionego pola gry. Matematycy przypisują tę samą nazwę podobnej grze rozgrywającej się w dwóch (i więcej) wymiarach, w której to środek liny może poruszać się w wielu kierunkach, a nie tylko lewo-prawo. Trudno sobie jednak takie przeciąganie wyobrazić, dlatego przyjąłem termin gra w sumo.

Plansza do gry w sumo (dalej oznaczana przez $-- |Ω$ ) składa się z pewnej liczby pól na szachownicy. Każde pole szachownicy $P$ ma czterech sąsiadów, oznaczanych tutaj $P1,P2,P3,P4.$ Pole nazwiemy wewnętrznym, jeśli leży na planszy razem ze swoimi sąsiadami, w przeciwnym przypadku nazwiemy je brzegowym. Zbiór pól wewnętrznych oznaczymy przez $Ω$ a brzegowych przez $∂Ω$

Dwoje zawodników, Jaś i Małgosia, zaczyna grę na pewnym polu $|P$ leżącym na planszy. Jeśli pole $P$ jest brzegowe, gra się kończy. W przeciwnym przypadku rzut symetryczną monetą decyduje, który z zawodników uzyskuje w tej turze przewagę nad przeciwnikiem, dzięki czemu przepycha go na wybrane przez siebie sąsiednie pole (i z rozpędu sam też tam ląduje). Gra toczy się w turach do momentu, gdy gracze wylądują na polu brzegowym.

Kto wygrywa? Podobnie jak w grze w przeciąganie liny, musimy się na coś umówić. Dojście do pewnych pól brzegowych będzie oznaczać wygraną Jasia, a do innych - Małgosi. Przyjętą umowę możemy opisać za pomocą jednej funkcji $|g ∂Ω$ określonej wzorem

⎧ ⎪⎪1 jeśli dojście do P daje wygran ą Ma łgosi, g(P ) = ⎨⎪⎪0 jeśli Jasiowi. ⎩

Przebieg gry jest więc zdeterminowany przez planszę $-- |Ω,$ funkcję rozstrzygnięcia $|g,$ decyzje zawodników, losowe wyniki rzutów monetą oraz wybór pola startowego.

W dalszej części artykułu przyjmiemy, że Jaś i Małgosia mają ustalone racjonalne strategie, czyli przy każdym przepchnięciu przeciwnika wybierają sąsiednie pole w taki sposób, by zmaksymalizować prawdopodobieństwo swojej wygranej. Jeśli dodatkowo ustalimy pole startowe $P ,$ to gra jest już czysto losowa i możemy określić warunkowe prawdopodobieństwo wygranej Małgosi:

h(P ) = P(wygra Ma łgosia gra startuje z P).

W ten sposób otrzymaliśmy pewną funkcję $-- |h Ω R.$ Gdy $|P$ jest polem brzegowym, gra kończy się już na starcie, a jej rozstrzygnięcie jest opisane funkcją $g,$ a zatem $h(P ) = g(P ).$ Rozgrywka robi się ciekawsza, jeśli $|P$ jest polem wewnętrznym. Z prawdopodobieństwem $1 |2$ chwilową przewagę uzyska Małgosia i przepchnie Jasia na takie sąsiednie pole $Pi$ (gdzie $|i = 1,2,3,4$ ), dla którego prawdopodobieństwo przyszłej wygranej $h(Pi)$ jest możliwie największe. Jeśli z kolei los padnie na Jasia, wybierze on takiego sąsiada $P j,$ dla którego $|h(P j)$ jest najmniejsze. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy więc

$pict$

Dla dowolnej funkcji $|h$ różnicę obu stron powyższej równości oznaczymy przez

1- ∆h(P ) = 2( mi a 1x,2,3,4h(Pi) + m j i 1n,2,3,4h(Pj )) − h(P ).

Wyrażenie to jest nazywane dyskretnym operatorem $|∞$ -Laplace'a (chociaż Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) nigdy takiego nie rozważał). Dotychczasowe rozważania możemy podsumować następująco - funkcja $-- h Ω R$ jest rozwiązaniem zagadnienia

⎧ ⎪⎪ ∆h(P ) = 0 dlaP ∈ Ω ⎨⎪⎪ h(P) = g(P) dlaP ∈ ∂Ω ⎩

(*)

Do znalezienia rozwiązania wykorzystamy metodę noszącą imię Oskara Perrona $|(1880 − 1975)$ ; noszącą bardzo słusznie, gdyż to jemu ją zawdzięczamy. Opiera się ona na własnościach funkcji $v$ spełniających nierówność $|∆v ⩾ 0$ zamiast równości. Są to tak zwane podrozwiązania, których rodzinę oznaczymy przez

-- V = {v Ω R ∆v(P )⩾ 0 dla P ∈ Ω

Rodzina $V$ jest niepusta - należy do niej, na przykład, funkcja $v$ zerująca się na $Ω$ i równa funkcji $|g$ na $∂Ω$ Ponadto wszystkie funkcje $|v∈ V$ są ograniczone z góry przez $1,$ co wynika z następującego faktu:

Zadanie 1 (zasada maksimum). Jeśli $∆ v(P) ⩾0$ dla $|P∈ Ω$ oraz $|v(P) ⩽M$ dla $P ∈ ∂Ω$ to również $v(P )⩽ M$ dla $P ∈ Ω$

Wskazówka. Jeśli $v(P )$ przyjmuje największą wartość dla pewnego pola $P ∈Ω$ to przyjmuje tę samą wartość również dla wszystkich pól sąsiednich.

Jesteśmy teraz gotowi zdefiniować rozwiązanie.

Twierdzenie 1 (o istnieniu). Funkcja $-- h Ω R$ określona wzorem

h(P) = suvp>V v(P )

jest rozwiązaniem zagadnienia (*).

Dotychczasowe uwagi na temat rodziny $V$ pozwalają stwierdzić, że powyższy wzór jest poprawny, a ponadto $0 ⩽ h(P) ⩽ 1$ dla wszystkich $| -- P ∈Ω .$ Narzuca się pytanie, czy znaleziona właśnie funkcja $| h$ pokrywa się z rozważaną wcześniej funkcją opisującą prawdopodobieństwo wygranej. Poniższe zadanie rozwiewa tę wątpliwość.

Zadanie 2 (o jednoznaczność). Zagadnienie (*) ma tylko jedno rozwiązanie.

Wskazówka. Rozważyć dwa rozwiązania $|h1,h2$ i powtórzyć rozumowanie z zadania 1 dla funkcji $|h1− h2,$ starannie dobierając punkt o ekstremalnych własnościach.

Dowód twierdzenia opiera się na dwóch wyjątkowych własnościach rodziny $|V,$ których samodzielne sprawdzenie nie powinno sprawić Czytelnikowi problemu.

Zadanie 3. Jeśli funkcje $v1,...,vk$ należą do $V ,$ to funkcja $|v$ określona jako ich maksimum

-- v(P) = max(v1(P ),...,vk(P )) dlaP ∈Ω

również należy do $V .$

Zadanie 4. Jeśli $v ∈V$ oraz $P ∈ Ω$ to funkcja $---- v Ω R$ określona przez

$pict$

również należy do rodziny $V .$ Ponadto $-- ∆ v(P) = 0$ oraz $v(Q)$ dla $|Q$

Dowód twierdzenia. Równość $|h(P) = g(P)$ dla $P ∈ ∂Ω$ wynika wprost z określenia $|V$ i $|h,$ pozostaje nam sprawdzić równość $∆ h = 0$ ; ustalmy więc pole $|P ∈Ω$ Z określenia $|h$ wynika, że dla każdej liczby $|ε> 0$ istnieje funkcja $|v0∈ V$ spełniająca $v0(P) > h(P ) −ε.$ Podobnie dla każdego sąsiedniego pola $Pi$ znajdziemy funkcję $vi∈ V,$ dla której $|vi(Pi) > h(Pi) − ε.$ Ich wspólne ograniczenie $|v = max(v0, v1,v2,v3,v4)$ należy do rodziny $V$ na mocy zadania 3 oraz

v(Q)

Skonstruowana w zadaniu 4 funkcja $v-$ również spełnia te nierówności, a ponadto dzięki $-- v ∈ V$ mamy $-- v(Q)$ dla wszystkich $Q$ W rezultacie

max h(Pi) − max v(Pi) , min h(P j)− min v(P j) < ε. i 1,2,3,4 i 1,2,3,4 j 1,2,3,4 j 1,2,3,4

Porównanie liczb $|∆h(P )$ i $-- ∆v(P )$ (ta druga jest zerem!) przy użyciu nierówności trójkąta daje

∆ h(P) = ∆h(P )− ∆ v(P) < 1(ε +ε) +ε = 2ε. 2

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnie małej liczby $|ε> 0,$ a więc zachodzi żądana równość $∆ h(P ) = 0.$

Zależnie od swojego filozoficznego usposobienia Czytelnik może być z tego dowodu zadowolony lub nie. Wykazaliśmy istnienie rozwiązania $h,$ ale nie wyznaczyliśmy funkcji $h$ jawnym wzorem. Tę wadę ma zresztą większość metod stosowanych obecnie w równaniach różniczkowych cząstkowych, do których zagadnienie (*) zalicza się jako dyskretny odpowiednik.

Problem ten można częściowo obejść. Funkcja $h$ jest większa lub równa każdej funkcji $v ∈V ,$ więc stosując na przemian konstrukcje z zadań 3 i 4, możemy znaleźć coraz lepsze przybliżenia z dołu. Gdybyśmy natomiast w definicji rodziny $|V$ zastosowali przeciwny znak nierówności (czyli $|∆v ⩽ 0$ ), to funkcję $|h$ otrzymalibyśmy jako infimum tej rodziny, co pozwala znaleźć przybliżenia $h$ również z góry. W ten sposób możemy znaleźć wartości $h$ z dokładnością dwóch cyfr po przecinku dla planszy z rysunku 1 Warto zwrócić uwagę, że dopiero wtedy jesteśmy w stanie przeprowadzić symulacje naszej rozgrywki. O dziwo, w rzeczywistości zawodnicy sumo radzą sobie doskonale bez wykonywania takich obliczeń...