Jak to jest zrobione?

Cóż zatem ciekawego może być w grze towarzyskiej jako takiej? Według mnie wyłącznie matematyka, która kryje się za jej zasadami (a niekoniecznie za jej rozgrywką!). Oto dość świeży przykład takiej gry – żeby nie uprawiać kryptoreklamy, nazwijmy ją roboczo grą  Talia składa się z   kart. Na każdej z nich jest  różnych obrazków typu: słoneczko, kot, marchewka itp. … I teraz rzecz najważniejsza! Dowolne dwie karty mają dokładnie jeden obrazek wspólny. W instrukcji zaproponowano kilka prostych gier z użyciem takiej talii. Najprostsza polega na tym, że dwóch graczy, z których każdy otrzymał początkowo  kart, wykłada w każdym ruchu jedną kartę na stół (jedna karta nie bierze udziału w grze). Ten, który jako pierwszy spostrzeże i nazwie wspólny obrazek, wygrywa ruch i pozbywa się tej karty. Wygrywa ten, który wcześniej pozbędzie się wszystkich kart. W przypadku większej liczby graczy możliwe są dość oczywiste warianty, które czynią grę jeszcze ciekawszą (?).

Ale my nie chcemy tutaj zajmować się rozgrywką, lecz zadajemy pytanie podstawowe: jak zaprojektować karty, aby spełniony był warunek, że każde dwie mają dokładnie jeden wspólny obrazek? O tym traktuje ten artykuł. Uważny Czytelnik od razu zauważy, że na tak sformułowane pytanie odpowiedź jest trywialna: na każdej z   kart należy umieścić słoneczko, a pozostałe  miejsc obsadzić  różnymi przedmiotami! Jednak chodzi nam o coś więcej: pobieżna inspekcja talii kart przekonuje nas, że różnych obrazków jest około   a nie ponad ! Po dłuższej grze zauważamy ponadto, że wspólne obrazki z całego katalogu obrazków pojawiają się mniej więcej równomiernie (np. słoneczko podobnie często jak marchewka!). To wszystko rozgrywało się na polu namiotowym w Polańczyku, nad pięknym Jeziorem Solińskim. Moich kompanów wypoczynku (wyłącznie niematematyków!) zachwyciło właśnie to: bezkompromisowe przestrzeganie reguły w nietrywialny sposób! Zapytali mnie wprost: Jak to jest zrobione? Poszli pływać na deskach, a ja znowu miałem pretekst, żeby zostać w bazie windsurfingowej Malibu.

Szukałem podobnych sytuacji w różnych działach matematyki i dość szybko ustaliłem, że „dwie różne proste przecinają się na ogół w dokładnie jednym punkcie”. U nas „proste” będą kartami, a „punkty” będą obrazkami. Odważnie brnąłem dalej, ufając klasykom, którzy w roli „punktów” widzieli nawet krzesła, byle spełniały aksjomaty! Póki co przeszkadzało mi bardzo wytłuszczone zastrzeżenie na ogół, które dopuszcza, że są na świecie proste równoległe. Ale my nie chcemy dopuszczać żadnych wyjątków! Każde dwie różne „proste” powinny przecinać się w dokładnie jednym „punkcie”. Czy są takie dziwne geometrie? Są i to pod ręką!

Czytelnik Delty słyszał zapewne o płaszczyźnie rzutowej, ale dla porządku przypomnijmy jej konstrukcję. Niech  będzie dowolnym ciałem. Oznaczmy najpierw zbiór trójek elementów  gdzie  przez i wprowadźmy w   następującą relację   Piszemy  wówczas, gdy istnieje  takie, że  Łatwo sprawdzić, że  jest relacją równoważności na zbiorze  Określamy teraz płaszczyznę rzutową nad ciałem  jako zbiór klas abstrakcji relacji  i oznaczamy go tradycyjnie symbolem

Jeśli, na przykład,  to możemy rozpatrywać punkt  Biorąc  możemy ten sam punkt  zapisać inaczej:  Określmy jeszcze proste w naszej geometrii. Jeśli  to określamy prostą  jako zbiór punktów  spełniających równanie

Proszę zauważyć, że tak określona przynależność punktu  do prostej nie zależy od wyboru przedstawiciela  z klasy abstrakcji. Jeśli rozpatrzymy teraz dwie różne proste  oraz  co oznacza, że nie istnieje  takie, iż  to wówczas będzie

Natychmiast sprawdzamy bezpośrednim rachunkiem, że

Mamy więc to, czego chcieliśmy: każde dwie różne proste przecinają się w jednym punkcie (i tylko w jednym, co łatwo sprawdzić)! Do rozwiązania pozostał jeszcze jeden problem: na prostej w   jest nieskończenie wiele punktów, a na karcie gry  ma być zaledwie  obrazków. Ale dla matematyka to żaden problem: ciało  jest po prostu zbyt duże, zamiast  należy użyć ciała skończonego  Składa się ono z wszystkich reszt modulo  a zatem  Działania też są określone modulo   np.: ; ; ;  itp. Przekonajmy się, że na każdej prostej  leży dokładnie  punktów. Załóżmy, że np.  Z równania prostej obliczamy  Mamy teraz ogromną swobodę. Za  i   możemy podstawiać niezależnie wszystkie elementy ciała  omijając tylko parę (dlaczego?). Razem z wynikowym  obliczonym z powyższego wzoru, otrzymamy wówczas  trójek, których klasy abstrakcji wyczerpują całą prostą – każdy punkt na prostej otrzymamy jednak sześciokrotnie, a zatem  Podobnie obliczamy, że  A ile jest prostych w naszej geometrii? Z powyższego opisu wynika, że również  Każdy bowiem punkt  wyznacza prostą  i odwrotnie – zjawisko to nazywamy dualnością i odgrywa ono ważną rolę w geometrii rzutowej. Coś tu się jednak nie zgadza, gdyż talia składa się z   kart – no dobrze, nie użyto po prostu pewnych dwóch prostych – zapewne z powodów eko-logicznych. Może przynajmniej zgadza się liczba różnych obrazków (czyli punktów) użytych przez projektanta gry 

Zniknęli za horyzontem i szybko nie wrócą ..., a więc do roboty: „kotek, marchewka, słoneczko … znowu słoneczko – już było, więc nie liczymy powtórnie ... diabełek.” „Jeden, dwa, trzy, ..., pięćdziesiąt siedem.”– dzięki Ci Boże za te piękne wzgórza, jezioro i płaszczyznę rzutową !

Rys. 1 Brakujące proste

Rys. 2 Prosta KM jest w talii

Rys. 3 M leży na prostej DK.

Brakujące karty

Jeśli gra  jest rozrywkowym wcieleniem absolutu  to medytacjom z użyciem talii kart przeszkadza niewątpliwie jej niezupełność – brak dwóch kart. Matematyk nie może przejść nad tym do porządku dziennego – już woli nawet nie grać, niż przestać myśleć o dwóch brakujących kartach. Już słyszę te złośliwości pod naszym adresem: „Lubujecie się w rozmyślaniach nad tym, czego nie ma”. Na szczęście pogłębiona opinia o działalności matematyków zawiera stwierdzenie: „Oni rachują”. A więc do roboty!

Policzę najpierw, na ilu kartach występuje słoneczko: wyszło, że na 8. Tak więc cały pęk prostych przechodzących przez słoneczko jest nienaruszony. Podobnie piesek występuje na 8 kartach, ale gorszy los spotkał kotka K – podobnie jak 13  innych przedmiotów występuje na  kartach. Diabełek D jest niepocieszony, chociaż wyróżniony: tylko on występuje na 6  kartach. Rysunek 1 ilustruje powyższy opis werbalny. „Prosta” DK (przechodząca przez diabełka i kotka) jest, oczywiście, jedną z brakujących prostych. Rozważmy teraz jeden z 13 pozostałych przedmiotów, oprócz K, leżących na 7 prostych – niech to będzie marchewka M. Mamy rozstrzygnąć problem: czy M leży na prostej DK, czy też na drugiej brakującej?

W tym celu należy wyjąć z tali wszystkie 7 kart „przechodzących” przez kotka K. Jeśli jest wśród nich karta zawierająca marchewkę M, to M leży na drugiej brakującej prostej. Jeśli natomiast żadna z tych kart nie przechodzi przez M, to M leży na prostej DK; inaczej mówiąc, diabełek, kotek i marchewka są współliniowe! Obie te sytuacje przedstawiono odpowiednio na rysunkach 2 i 3. Tak samo sadowimy pozostałe przedmioty leżące na  prostych.

Proszę zauważyć, że rozwiązanie problemu brakujących prostych nie wymagało użycia współrzędnych, tzn. nie pracowaliśmy z równaniami w   jak w poprzedniej części artykułu. Korzystaliśmy wyłącznie z własności „geometrycznych” typu: każda prosta zawiera 8 punktów, każdy punkt leży na 8 prostych itp. Te własności i wiele innych można wywieść z następujących aksjomatów abstrakcyjnej planimetrii rzutowej:

A1

Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

A2

Każde dwie różne proste przechodzą przez dokładnie jeden wspólny punkt.

A3

Istnieją cztery różne punkty, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej.

Wychodząc z tych aksjomatów, można, na przykład, wykazać, że jeśli cała płaszczyzna składa się ze skończonej liczby punktów, to ta skończona liczba musi być postaci  oraz

• na każdej prostej leży  punktów,
• przez każdy punkt przechodzi  prostych,
• wszystkich prostych jest też

Liczbę  nazywamy rzędem skończonej płaszczyzny rzutowej. Płaszczyzna  ma rząd  Jakie liczby naturalne  są rzędami skończonych płaszczyzn rzutowych? Jeżeli  jest liczbą pierwszą, to uogólniając przedstawioną wyżej konstrukcję (używając ciała reszt  zamiast szczególnego ciała reszt ), otrzymujemy płaszczyznę rzutową rzędu  Tego typu konstrukcja wychodzi z ciała  i produkuje płaszczyznę  Okazuje się, że  nie są jedynymi ciałami skończonymi. Pełny opis sytuacji zawiera się w klasycznym twierdzeniu, że dla każdej liczby pierwszej  i każdej liczby naturalnej  istnieje dokładnie jedno ciało o liczbie elementów ; oznaczamy je przez  Zobaczmy dla przykładu, jak powstaje ciało  Niech  jako zbiór składa się z napisów postaci  gdzie  natomiast  jest osobnym przedmiotem. Określmy działania w   Dodawanie i odejmowanie wykonujemy „po współrzędnych”:

I tak, na przykład,

i tak dalej.

Mnożenie  jest ciekawsze (chociaż nie dla Czytelnika, który zna liczby zespolone):

Można sprawdzić, że otrzymujemy w ten sposób ciało, tzn. spełnione są wszystkie naturalne własności dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia znane z arytmetyki liczb rzeczywistych. Czytelnik może się zastanowić, jak znajdować elementy odwrotne do elementów różnych od  My zadowolimy się przykładem dzielenia:

Tak więc  składa się z   elementów i jest ciałem – mamy więc płaszczyznę rzutową rzędu 9 i możemy zaprojektować odpowiednią grę z   obrazkami na każdej z (nawet)  kart. Grę „minimalną” otrzymamy, wychodząc z płaszczyzny rzutowej – karty są trzyobrazkowe i jest ich  Słynna hipoteza mówi, że jedynie potęgi liczb pierwszych  są rzędami skończonych płaszczyzn rzutowych.

Póki co najogólniejsze twierdzenie w tym kierunku udowodnili Bruck i Ryser (1949):

Wynika z tego natychmiast, że  nie jest rzędem płaszczyzny rzutowej – gry -obrazkowej nie da się skonstruować. Pierwsza liczba  która nie podpada pod powyższe twierdzenie, to – używając dobrych pomysłów i bardzo mocnych komputerów (Lam, Thiel, Swiercz, 1989), wykazano, że nie ma płaszczyzny rzutowej rzędu  Nie wiadomo, czy istnieje płaszczyzna rzutowa rzędu

Wróćmy wreszcie do oryginalnej gry  Zauważmy przede wszystkim, że jej projektanci nie musieli a priori korzystać z całej tej algebraicznej konstrukcji, która wychodzi od ciała  Może zrobili to „na piechotę” i mieli bardzo dużo szczęścia? To oczywiście możliwe, bo, jak wiadomo, szczęścia nigdy za dużo, ale można udowodnić, że płaszczyzny rzutowe rzędów  muszą pochodzić od ciał skończonych – tak więc nawet jeśli twórcy gry nie korzystali ze współrzędnych w ciele  to faktycznie te współrzędne daje się wprowadzić i może być np. tak, że  Natomiast oprócz dość dokładnie opisanej powyżej płaszczyzny  istnieją jeszcze trzy inne płaszczyzny rzutowe rzędu   w których nie da się wprowadzić współrzędnych z ciała  a nawet więcej: nie zachodzi w nich twierdzenie Desarguesa, ale to już historia na inną opowieść.

Na zakończenie przepis na zrobienie sobie talii kart opartej na

Talia pomniejszona, ale kompletna: Arbuz ma współrzędne jednorodne  oraz leży na prostych pierwszej, trzeciej, szóstej i jedenastej, gdyż liczby  dzielą się przez 3. Zarówno prostych, jak i punktów jest  Na każdej prostej leżą  punkty, przez każdy z 13 punktów przechodzą 4 proste i wreszcie każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny – proszę sprawdzić! Oczywiście, możliwych czwórek obrazków jest dużo więcej (55 razy, ale to „inne” 55) niż tych, które będą na jednej karcie-prostej: już Arbuz, Beczka i Cytryna nie znajdują się równocześnie na żadnej karcie.