Na rozgrzewkę rozważmy prosty przykład dla :

Spróbujmy zastosować strategię zachłanną, polegającą na tym, że w każdym ruchu wybieramy ten kraniec, na którym znajduje się moneta o większym nominale. Zatem w pierwszym ruchu Ania weźmie 2:

Optymalnym ruchem Bartka w takiej sytuacji jest wzięcie 10. Po czym Ania weźmie 5, a Bartek 1. W takiej sytuacji przewaga Ani nad Bartkiem wyniosła  (przez przewagę rozumiemy tu sumę nominałów zgromadzonych przez jednego z graczy pomniejszoną o sumę nominałów przeciwnika – nie przeszkadza nam to, że czasem ta przewaga będzie ujemna).

Okazuje się jednak, że w powyższym przykładzie Ania mogła zagrać lepiej. Wzięcie  w pierwszym ruchu powoduje, że Bartek bierze  z kolei Ania bierze  a Bartek  W takiej sytuacji przewaga Ani wynosi

Naiwna strategia zachłanna nie zawsze się opłaca, potrzebujemy zatem czegoś lepszego. Okazuje się, że jeśli liczba monet  jest parzysta, to Ania ma bardzo prostą strategię, dzięki której może zawsze uzyskać nieujemną przewagę, niezależnie od nominałów monet. Wyróżnijmy co drugą monetę w rzędzie:

Zauważmy, że istnieje strategia, w której Ania zabierze wszystkie wyróżnione monety. Istotnie, przed każdym ruchem Ani dokładnie na jednym krańcu będzie wyróżniona moneta (i tę monetę zabierze Ania), zaś przed każdym ruchem Bartka żadna z monet na krańcach nie będzie wyróżniona (więc Bartek nie będzie miał szans zabrać żadnej wyróżnionej monety).

Ania ma jednak wybór: może wyróżnić albo monety na pozycjach nieparzystych, albo monety na pozycjach parzystych. Oczywiście, wybierze ona ten wariant, który da jej większą sumę nominałów.

Jasne jest, że suma ta będzie równa co najmniej połowie całkowitej sumy nominałów.

Czytelnicy zechcą sprawdzić, że dla poniższego przykładu z bardziej „egzotycznymi” nominałami

Ciąg (*)

Ania może uzyskać przewagę równą  zabierając monety z pozycji parzystych. Pytanie brzmi, czy ta strategia jest optymalna, tzn. czy gwarantuje Ani najlepszy możliwy wynik? Spróbujmy podejść do sprawy metodycznie. Oznaczmy wartości kolejnych nominałów w rzędzie przez  Zauważmy, że w dowolnym momencie gry na stole znajduje się spójny podciąg monet. Dla ustalenia uwagi niech będą to monety na pozycjach o numerach  (dla ). Oznaczmy przez  maksymalną możliwą do uzyskania przewagę dla gracza, który w tej sytuacji wykonuje ruch – powiedzmy, że będzie to Ania. Ma ona do wyboru dwie możliwości. Wzięcie monety z lewego krańca (o numerze ) spowoduje przejście do sytuacji, w której na stole znajdują się monety o numerach  W tej sytuacji przewaga przeciwnika (Bartka) wyniesie  zatem przewaga Ani będzie równa  Dodając zysk  z  -tej monety, widzimy, że po tym ruchu przewaga Ani wyniesie  Rozumując analogicznie, otrzymujemy, że wzięcie monety z prawego krańca (o numerze ) daje jej przewagę  Zatem wartości tablicy  można wyznaczyć za pomocą następującej rekurencji:

Na marginesie znajduje się tablica dla naszego ciągu (*). Przykładowo, aby wyznaczyć wyróżniony element tablicy, obliczamy

Tak więc przewaga Ani w naszym przykładzie wynosi  Można ją uzyskać, biorąc w pierwszym ruchu monetę o nominale  a dalej grając zachłannie.

Tabelka koduje optymalną strategię dla całej gry. Problematyczne jest jednak to, że do jej wyznaczenia potrzebujemy wykonać  obliczeń, nawet jeśli chcemy wyznaczyć tylko pierwszy ruch Ani lub jej przewagę w grze. Podamy teraz prostszy sposób na wyznaczanie tych rzeczy.

Znajdźmy w ciągu trzy monety na kolejnych pozycjach  których nominały spełniają nierówności  i zastąpmy je jedną monetą o nominale  Jeśli istnieje więcej takich trójek, to wybieramy dowolną z nich. Okazuje się (choć nie jest to ani oczywiste, ani łatwe do uzasadnienia), że taka operacja nie zmienia przewagi Ani. Stosując ją w naszym przykładzie (*), dostajemy:

Jeśli ciąg nominałów jest bitoniczny (tzn. do pewnego momentu malejący, a dalej rosnący – czyli nie uda się znaleźć trzech monet spełniających powyższy warunek), to w takim przypadku działa już strategia zachłanna. Jest tak dlatego, że niezależnie od kolejnych ruchów największa moneta będzie zawsze znajdowała się na jednym z krańców ciągu. Zatem przewagę Ani w przypadku ciągu bitonicznego bardzo łatwo obliczyć – wystarczy zsumować liczby w porządku nierosnącym, biorąc co drugą liczbę ze znakiem minus. W naszym przypadku będzie to

Czytelnicy zechcą sprawdzić, że w przykładzie

po zastosowaniu trzech operacji uzyskujemy bitoniczny ciąg

zatem i tym razem przewaga wynosi

A co z wyznaczeniem optymalnego ruchu? Otóż, jeśli w bitonicznym ciągu, powstałym po serii operacji, lewy nominał wynosi co najmniej tyle ile prawy (a zatem wzięcie monety z lewego krańca jest optymalnym ruchem), to również w pierwotnym ciągu wzięcie monety z lewego krańca jest optymalnym ruchem. Analogicznie w przypadku prawego krańca. Zatem w ciągu (**) wzięcie  z lewego krańca jest optymalne, gdyż w ciągu bitonicznym nominał na lewym krańcu jest większy niż ten na prawym .

Ostatecznie otrzymujemy przepis, który pozwala nam wyznaczyć optymalny ruch i wymaga jedynie liczby obliczeń rzędu