Rozważmy dowolny podział zbioru dodatnich liczb całkowitych spełniający zadane warunki. Zauważmy, że jeżeli to dla dowolnego mamy co jest sprzeczne z założeniem, że zbiory i są rozłączne. Wobec tego

Oznaczmy przez najmniejszy element zbioru Korzystając z pierwszego z danych warunków, łatwo indukcyjnie udowodnić, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej :

skąd wniosek, że wszystkie liczby niepodzielne przez należą do zbioru W szczególności z drugiego z danych warunków wynika, że każda liczba podzielna przez ale niepodzielna przez należy do zbioru

Przypuśćmy, że dla pewnej dodatniej liczby całkowitej Wówczas, skoro to co jest sprzeczne z konkluzją poprzedniego akapitu. To oznacza, że wszystkie liczby podzielne przez należą do zbioru

Pozostaje zauważyć, że dla każdego jeżeli jest zbiorem liczb niepodzielnych przez a - zbiorem liczb podzielnych przez to warunki zadania są spełnione.