Rekordy długowieczności i procesy Poissona II

W pierwszej części artykułu szukaliśmy prawdopodobieństwa tego, że umierający człowiek będzie starszy od wszystkich aktualnie żyjących. Zadanie wykonaliśmy. Obliczyliśmy interesujące nas prawdopodobieństwo. Pozwólmy sobie teraz na kilka komentarzy i dygresji. Przypomnijmy najważniejszy wynik pomocniczy, który udowodniliśmy przed miesiącem.

Na Marginesie

Przypominamy podstawowe definicje i założenia opisywanego modelu.

$\text{[math]}$ to z definicji prawdopodobieństwo dożycia $\text{[math]}$ lat.

T1 Każdy noworodek ma jednakową funkcję przeżycia $\text{[math]}$

T2 Długości życia różnych noworodków są statystycznie niezależne.

N1 Dla dowolnego momentu $\text{[math]}$ prawdopodobieństwo urodzenia się dziecka w „krótkim” odcinku czasu $\text{[math]}$ jest w przybliżeniu równe $\text{[math]}$ prawdopodobieństwo zaś urodzenia się więcej niż jednego dziecka jest tak małe, że możemy je zaniedbać.

N2 Liczby noworodków pojawiających się w rozłącznych odcinkach czasu są statystycznie niezależne.

TN Długości życia wszystkich osobników są niezależne statystycznie od procesu narodzin.

Rys. 1 „Odcinek życia” osobnika, który urodził się w roku $\text{[math]}$ i umarł w wieku $\text{[math]}$ lat.

Rys. 2 Obszar $\text{[math]}$ „zaczepiony” w punkcie $\text{[math]}$

Stwierdzenie 1. Prawdopodobieństwo tego, że osobnik umierający w wieku $\text{[math]}$ lat jest starszy od wszystkich aktualnie żyjących, jest równe

display-math

Warto przyjrzeć się bliżej funkcji $\text{[math]}$ Wyobraźmy sobie, że mamy „bardzo liczną” próbkę losową osobników o funkcji przeżycia $\text{[math]}$ Spodziewamy się, że spośród wszystkich $\text{[math]}$ osobników liczba tych, którzy przeżyją przynajmniej $\text{[math]}$ lat, jest bliska $\text{[math]}$ Tak jak w poprzednich rozważaniach, podzielmy przedział $\text{[math]}$ na krótkie odcinki $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ Oczekujemy, że około $\text{[math]}$ osobników w naszej próbce będzie miało długość życia w $\text{[math]}$ -tym przedziale, czyli w przybliżeniu $\text{[math]}$ Jeśli teraz obliczymy średnią długość życia ponad $\text{[math]}$ lat, to otrzymamy

$1 ∞ --Q ihn(S(t + ih) − S(t+ (i + 1)h)) = n i 0 ∞ = Q hS(t +ih) ≈ R(t). i 1$

W rachunku prawdopodobieństwa nazywamy

\text{[math]}

wartością oczekiwaną lub średnią czasu życia ponad

\text{[math]}

lat. Zauważmy, że mówimy tu o średniej pośród wszystkich osobników. Uznajemy, że ci, którzy wieku

\text{[math]}

nie dożyli, mają czas trwania życia ponad

\text{[math]}

lat równy 0. Jeśli obliczymy średnią pośród tylko tych osobników, którzy dożyli wieku

\text{[math]}

to otrzymamy

\text{[math]}

Poniższy wynik ma, z oczywistych względów, duże znaczenie dla ubezpieczeń życiowych.

Stwierdzenie 2. Oczekiwany dalszy czas życia osobnika, który dożył $\text{[math]}$ lat, jest równy $\text{[math]}$

W szczególności, średnia długość życia jest równa $\text{[math]}$

W realnych populacjach średnia długość życia jest skończona. Jednak z matematycznego punktu widzenia nic nie stoi na przeszkodzie, aby rozważać takie funkcje przeżycia $\text{[math]}$ że pole pod wykresem $\text{[math]}$ jest nieskończone, czyli $\text{[math]}$ Każda taka nierosnąca funkcja $\text{[math]}$ że $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ jest poprawną matematycznie funkcją przeżycia! W świecie, w którym obowiązują reguły T1, T2, N1, N2 i TN i jednocześnie $\text{[math]}$ jest nieskończone, pewne zjawiska mogą się wydać paradoksalne.

Wniosek 1. Jeśli średnia długość życia jest nieskończona, to w momencie śmierci każdego osobnika żyje nieskończenie wielu innych osobników od niego starszych.

Nikt nie jest nigdy najstarszy! Nieco dokładniej, teza Wniosku 1 jest zdarzeniem losowym, które zachodzi z prawdopodobieństwem równym 1.

Dowód Wniosku 1. Zdarzenie losowe, o którym mówi Stwierdzenie 1, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy w obszarze $\text{[math]}$ na rysunku 2 nie ma ani jednego końca „odcinka życia” (por. Rys. 1). Jeśli $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ dla każdego $\text{[math]}$ Stosując formalnie wzór, widzimy, że w obszarze $\text{[math]}$ nie ma „punktów śmierci” z prawdopodobieństwem $\text{[math]}$ (można to uzasadnić nieco porządniej, modyfikując tylko nieznacznie podany poprzednio dowód). Z prawdopodobieństwem 1, w obszarze $\text{[math]}$ leży zatem przynajmniej jeden punkt. Nazwijmy teraz $\text{[math]}$ „obszarem zaczepionym w punkcie $\text{[math]}$ ” i zauważmy, że w nim jest zawarty każdy obszar zaczepiony w $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$

W każdym z tych „mniejszych obszarów” leży przynajmniej jeden punkt, a zatem w obszarze $\text{[math]}$ leży nieskończenie wiele punktów, czego mieliśmy dowieść.

Z drugiej strony, w świecie, w którym obowiązują reguły T1, T2, N1, N2 i TN i jednocześnie $\text{[math]}$ też dzieją się rzeczy osobliwe.

Wniosek 2. Jeśli średnia długość życia jest skończona, to w dowolnym, ustalonym momencie z niezerowym prawdopodobieństwem liczba aktualnie żyjących osobników jest równa zeru.

Co jakiś czas świat całkowicie się wyludnia. Na szczęście, nasze aksjomaty zapewniają, że dzieci będą rodzić się nieprzerwanie, z jednakową intensywnością.

Zagadka 1. Jaki jest wzór na „niezerowe prawdopodobieństwo”, o którym mówi Wniosek 2?

Dla ułatwienia dodajmy, że ten wzór wynika natychmiast z naszych poprzednich rozważań i zależy tylko od $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$

Zagadka 2. Jaka jest średnia (oczekiwana) liczba osobników żyjących w ustalonym momencie?

W tytule tego artykułu procesy Poissona występują w liczbie mnogiej. Założenia N mówią, że proces urodzeń jest jednorodnym procesem Poissona. Można wywnioskować, powołując się na Założenia T i TN, że proces zgonów jest też jednorodnym procesem Poissona z tą samą intensywnością $\text{[math]}$ Żeby zobaczyć jeszcze jeden proces Poissona, zauważmy następujący fakt.

Stwierdzenie 3. Zdarzenie polegające na tym, że w „krótkim” odcinku czasu $\text{[math]}$ nastąpi śmierć osobnika, który narodził się w „krótkim” odcinku czasu $\text{[math]}$ ma prawdopodobieństwo w przybliżeniu równe $\text{[math]}$ Prawdopodobieństwo śmierci więcej niż jednego osobnika jest tak małe, że możemy je zaniedbać.

Innymi słowy, możemy rozpatrywane zdarzenie wyrazić tak: w „małym równoległoboku” na płaszczyźnie znajdzie się jeden „punkt śmierci”. Widać tu analogię z warunkiem N1. Mały równoległobok można zastąpić, na przykład, „małym prostokątem” $\text{[math]}$ Można udowodnić własność analogiczną do N2: liczby punktów w rozłącznych obszarach są statystycznie niezależne. Losowy zbiór „punktów śmierci” jest procesem Poissona na półpłaszczyźnie $\text{[math]}$ z intensywnością $\text{[math]}$ Jest to proces jednorodny względem $\text{[math]}$ ale niejednorodny względem $\text{[math]}$ bo jego intensywność zależy od $\text{[math]}$ Niestety, nie możemy tu kontynuować opowieści o procesach Poissona. Czytelnik może sięgnąć do pięknej książki Kingmana Procesy Poissona, PWN, Warszawa, 2002.

* * *

Na zakończenie popatrzmy na badane przez nas zjawisko z perspektywy statystycznej.

W tym celu udamy się na wyprawę do Symulandii. Jest to mały, wyspiarski kraj, którego mieszkańcy rodzą się i umierają ściśle według reguł T, N i TN. Funkcja przeżycia jest dokładnie taka, jak na rysunku 3 (znanym już z poprzedniej części artykułu), w szczególności $\text{[math]}$ intensywność procesu urodzin jest równa $\text{[math]}$

Co więcej, Główny Symulandzki Urząd Statystyczny dysponuje pełnymi danymi dotyczącymi osób, które urodziły się lub umarły w przedziale czasowym $\text{[math]}$ (według lokalnego kalendarza).

Dane dotyczą 82 osób i składają się z par $\text{[math]}$ gdzie $\text{[math]}$ jest czasem urodzenia, $\text{[math]}$ jest długością życia $\text{[math]}$ -tej osoby $\text{[math]}$ Obliczyliśmy na ich podstawie kilka statystyk, które teraz przytoczymy. Są to „empiryczne odpowiedniki” wielkości, które analizowaliśmy.

W ciągu 200 lat zaobserwowano 44 urodzenia i 46 zgonów. – Porównaj z liczbą $\text{[math]}$
Średnia długość życia dla 82 osób była równa $\text{[math]}$
21 osób, czyli $\text{[math]}$ spośród 82 przeżyło ponad 60 lat. – Porównaj z wartością funkcji przeżycia, $\text{[math]}$
Średnia długość życia ponad 60 lat, obliczona dla tych 21 osób, była równa $\text{[math]}$ lat. Porównaj z wielkością $\text{[math]}$
W ciągu 200 lat ani razu liczba ludności Symulandii nie spadła do 0. – Porównaj z Zagadką 1.
Średnia liczba ludności Symulandii w przedziale 200 lat była równa $\text{[math]}$ – Porównaj z Zagadką 2 i z rysunkiem 4 ( $\text{[math]}$ jest to nic innego, jak pole pod wykresem liczby ludności, podzielone przez 200).
Na koniec statystyka dla nas najważniejsza. Spośród 46 zgonów 12 razy zdarzył się rekord długowieczności w sensie przez nas rozpatrywanym. – Porównaj ułamek $\text{[math]}$ z liczbą $\text{[math]}$ obliczoną zgodnie z uzyskanym przed miesiącem wzorem $display-math$