Rekordy długowieczności i procesy Poissona II
W pierwszej części artykułu szukaliśmy prawdopodobieństwa tego, że umierający człowiek będzie starszy od wszystkich aktualnie żyjących. Zadanie wykonaliśmy. Obliczyliśmy interesujące nas prawdopodobieństwo. Pozwólmy sobie teraz na kilka komentarzy i dygresji. Przypomnijmy najważniejszy wynik pomocniczy, który udowodniliśmy przed miesiącem.
Stwierdzenie 1. Prawdopodobieństwo tego, że
osobnik umierający w wieku
lat jest starszy od wszystkich aktualnie
żyjących, jest równe

Warto przyjrzeć się bliżej funkcji
Wyobraźmy sobie, że mamy „bardzo
liczną” próbkę losową osobników o funkcji przeżycia
Spodziewamy
się, że spośród wszystkich
osobników liczba tych, którzy przeżyją
przynajmniej
lat, jest bliska
Tak jak w poprzednich
rozważaniach, podzielmy przedział
na krótkie odcinki
gdzie
Oczekujemy, że około
osobników w naszej próbce będzie
miało długość życia w
-tym przedziale, czyli w przybliżeniu
Jeśli teraz obliczymy średnią długość życia ponad
lat, to otrzymamy







W szczególności, średnia długość życia jest równa
W realnych populacjach średnia długość życia jest skończona. Jednak
z matematycznego punktu widzenia nic nie stoi na przeszkodzie, aby rozważać
takie funkcje przeżycia
że pole pod wykresem
jest
nieskończone, czyli
Każda taka nierosnąca funkcja
że
i
jest poprawną matematycznie funkcją
przeżycia! W świecie, w którym obowiązują reguły T1, T2, N1, N2 i TN
i jednocześnie
jest nieskończone, pewne zjawiska mogą się wydać
paradoksalne.
Wniosek 1. Jeśli średnia długość życia jest nieskończona, to w momencie śmierci każdego osobnika żyje nieskończenie wielu innych osobników od niego starszych.
Nikt nie jest nigdy najstarszy! Nieco dokładniej, teza Wniosku 1 jest zdarzeniem losowym, które zachodzi z prawdopodobieństwem równym 1.
Dowód Wniosku 1. Zdarzenie losowe, o którym mówi Stwierdzenie 1,
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy w obszarze
na rysunku 2
nie ma ani jednego końca „odcinka życia” (por. Rys. 1). Jeśli
to
dla każdego
Stosując formalnie
wzór, widzimy, że w obszarze
nie ma „punktów śmierci”
z prawdopodobieństwem
(można to uzasadnić nieco
porządniej, modyfikując tylko nieznacznie podany poprzednio dowód).
Z prawdopodobieństwem 1, w obszarze
leży zatem przynajmniej
jeden punkt. Nazwijmy teraz
„obszarem zaczepionym w punkcie
” i zauważmy, że w nim jest zawarty każdy obszar zaczepiony
w
dla
W każdym z tych „mniejszych obszarów” leży przynajmniej jeden punkt,
a zatem w obszarze
leży nieskończenie wiele punktów, czego
mieliśmy dowieść.
Z drugiej strony, w świecie, w którym obowiązują reguły T1, T2, N1,
N2 i TN i jednocześnie
też dzieją się rzeczy osobliwe.
Wniosek 2. Jeśli średnia długość życia jest skończona, to w dowolnym, ustalonym momencie z niezerowym prawdopodobieństwem liczba aktualnie żyjących osobników jest równa zeru.
Co jakiś czas świat całkowicie się wyludnia. Na szczęście, nasze aksjomaty zapewniają, że dzieci będą rodzić się nieprzerwanie, z jednakową intensywnością.
Dla ułatwienia dodajmy, że ten wzór wynika natychmiast z naszych
poprzednich rozważań i zależy tylko od
i
W tytule tego artykułu procesy Poissona występują w liczbie mnogiej.
Założenia N mówią, że proces urodzeń jest jednorodnym procesem
Poissona. Można wywnioskować, powołując się na Założenia T i TN, że
proces zgonów jest też jednorodnym procesem Poissona z tą samą
intensywnością
Żeby zobaczyć jeszcze jeden proces Poissona,
zauważmy następujący fakt.
Stwierdzenie 3. Zdarzenie polegające na tym, że w „krótkim” odcinku
czasu
nastąpi śmierć osobnika, który narodził się
w „krótkim” odcinku
czasu
ma prawdopodobieństwo w przybliżeniu
równe
Prawdopodobieństwo śmierci więcej niż jednego
osobnika jest tak małe, że możemy je zaniedbać.
Innymi słowy, możemy rozpatrywane zdarzenie wyrazić tak: w „małym
równoległoboku” na płaszczyźnie znajdzie się jeden „punkt śmierci”. Widać
tu analogię z warunkiem N1. Mały równoległobok można zastąpić,
na przykład, „małym prostokątem”
Można
udowodnić własność analogiczną do N2: liczby punktów w rozłącznych
obszarach są statystycznie niezależne. Losowy zbiór „punktów śmierci” jest
procesem Poissona na półpłaszczyźnie
z intensywnością
Jest to proces jednorodny względem
ale niejednorodny
względem
bo jego intensywność zależy od
Niestety,
nie możemy tu kontynuować opowieści o procesach Poissona. Czytelnik
może sięgnąć do pięknej książki Kingmana Procesy Poissona, PWN,
Warszawa, 2002.
* * *
Na zakończenie popatrzmy na badane przez nas zjawisko z perspektywy statystycznej.
W tym celu udamy się na wyprawę do Symulandii. Jest to mały, wyspiarski
kraj, którego mieszkańcy rodzą się i umierają ściśle według reguł
T, N i TN. Funkcja przeżycia jest dokładnie taka, jak na rysunku 3
(znanym już z poprzedniej części artykułu), w szczególności
intensywność procesu urodzin jest równa

Rys. 3 Wykres funkcji przeżycia.
Co więcej, Główny Symulandzki Urząd Statystyczny dysponuje pełnymi danymi
dotyczącymi osób, które urodziły się lub umarły w przedziale czasowym
(według lokalnego kalendarza).

Rys. 4 Liczba ludności Symulandii.
Dane dotyczą 82 osób i składają się z par
gdzie
jest
czasem urodzenia,
jest długością życia
-tej osoby
Obliczyliśmy na ich podstawie kilka statystyk, które
teraz przytoczymy. Są to „empiryczne odpowiedniki” wielkości, które
analizowaliśmy.
- W ciągu 200 lat zaobserwowano 44 urodzenia i 46 zgonów.
– Porównaj z liczbą
- Średnia długość życia dla 82 osób była równa
- 21 osób, czyli
spośród 82 przeżyło ponad 60 lat. – Porównaj z wartością funkcji przeżycia,
- Średnia długość życia ponad 60 lat, obliczona dla tych
21 osób, była równa
lat. Porównaj z wielkością
- W ciągu 200 lat ani razu liczba ludności Symulandii nie spadła do 0. – Porównaj z Zagadką 1.
- Średnia liczba ludności Symulandii w przedziale 200 lat była
równa
– Porównaj z Zagadką 2 i z rysunkiem 4 (
jest to nic innego, jak pole pod wykresem liczby ludności, podzielone przez 200).
- Na koniec statystyka
dla nas najważniejsza. Spośród 46 zgonów 12 razy zdarzył
się rekord długowieczności w sensie przez nas rozpatrywanym.
– Porównaj ułamek
z liczbą
obliczoną zgodnie z uzyskanym przed miesiącem wzorem