Niech  będzie prawdopodobieństwem wylosowania słowa dobrego, tj. takiego, w którym dwie wyróżnione litery nie sąsiadują, zaś  prawdopodobieństwem wylosowania słowa złego. Zapiszmy te wartości jako sumy  gdzie pojedynczy prim odpowiada sytuacjom, gdy ostatnia litera słowa jest niewyróżniona, a podwójny prim – sytuacjom, gdy ostatnia litera jest wyróżniona. Mamy zależności rekurencyjne

wyjaśnienie ostatniej z nich: złe -słowo, zakończone jedną z wyróżnionych liter, można uzyskać z dowolnego złego -słowa (dopisując na końcu jedną z tych dwóch liter), bądź z dobrego -słowa, zakończonego wyróżnioną literą (dopisując drugą wyróżnioną literę); uzasadnienie pozostałych zależności jest podobne. Odejmując dwie ostatnie równości otrzymujemy

Jednocześnie ta sama różnica daje się zapisać jako

Przyrównanie prawych stron uzyskanych równości daje jednorodną rekurencję liniową drugiego rzędu

Wraz z wartościami początkowymi  wyznacza ona cały ciąg   Numerycznie można się przekonać, że  a zatem liczba, o którą pyta zadanie, wynosi  Oczywiście można też uzyskać zwykłą metodą rozwiązanie tej ostatniej rekurencji w postaci

i zauważyć, że  dla  nieparzystych,  dla  parzystych. Wystarczy więc sprawdzić, że  czyli że liczba  leży pomiędzy  i   Tak w istocie jest; jej przybliżona wartość wynosi