Przypomnijmy, że każdą liczbę naturalną można zapisać w systemie o podstawie w następujący sposób:

gdzie Na przykład liczbę z systemu dziesiętnego "przetłumaczymy" na binarny (dwójkowy) jako tj. (liczby w indeksach dolnych wskazują na podstawę systemu). W systemie o postawie mamy

Trik 1

- Bereniko, proszę o wybranie jednej liczby z przedziału od do - rzekł iluzjonista do ochotniczki.
- Już wybrałam - odpowiedziała po chwili.
- A teraz proszę o wskazanie, na których kartach jest Twoja liczba.
- Hmm - zamyśliła się na chwilę. - Jest na pierwszej, trzeciej i czwartej.
- Ach, fantastycznie! Wybrałaś - odpowiedział niezwłocznie iluzjonista, wywołując tym samym zachwyt ochotniczki.

W jaki sposób iluzjonista odgadł liczbę? Zasadniczo nie jest potrzebna znajomość systemów pozycyjnych, aby wykonać tę sztuczkę. Liczby na kartach są tak dobrane, że niezależnie od tego, jaką liczbę wybierze Berenika, wskazane przez nią karty determinują zawsze tylko jedną liczbę. Z drugiej strony znajomość systemów pozycyjnych pozwala ten trik usprawnić oraz modyfikować.

Spójrzmy na liczby stojące w lewym górnym rogu kart wskazanych przez Berenikę - ich suma jest równa wybranej liczbie. Ochotniczka wskazała karty, licząc od lewej, pierwszą, trzecią i czwartą, więc iluzjonista wykonuje i tym sposobem otrzymuje 13. Gdyby Berenika wybrała 10, wskazałaby karty drugą i czwartą - iluzjonista wykonując działanie "odgadłby" jej liczbę bez problemu.

No dobrze, ale skąd się wzięły właśnie takie liczby na poszczególnych kartach? Pierwsza karta zawiera te liczby, które w systemie dwójkowym mają ostatnią cyfrę z prawej strony równą 1. Druga karta - wszystkie liczby mają drugą cyfrę od prawej równą 1 (w systemie dwójkowym). Trzecia karta zawiera liczby, których trzecia cyfra od prawej jest równa 1 (w systemie dwójkowym). I analogicznie czwarta karta. W ten sposób kodujemy wszystkie liczby z przedziału od 1 do 15.

Trik 2

- Alfredzie, odrzuć z pełnej talii 25 kart. Z pozostałych wybierz jedną i zapamiętaj ją. To będzie Twoja karta. Nie pokazuj jej nikomu. Ty zaś, Bereniko, powiedz swoją ulubioną liczbę z przedziału od 1 do 27 - prosi iluzjonista.
Alfred wykonuje instrukcje i po chwili oddaje iluzjoniście 27 kart.
- Wybrałam liczbę 6 - dodaje Berenika.
- Doskonale. Podzielę teraz karty na trzy równe stosy, figurami do góry. Gdy to skończę, wskaż stos, w którym jest Twoja karta - iluzjonista zwrócił się do Alfreda, po czym ułożył stosy.
- Tutaj - Alfred wskazał na jeden z nich.
Następnie iluzjonista jeszcze dwukrotnie rozłożył wszystkie karty na trzech stosach i prosił o wskazanie tego, na którym była karta Alfreda.
- Bereniko, podaj nam raz jeszcze swoją liczbę!
- 6 - odpowiedziała.
- Patrzcie uważnie, moi drodzy! - rzekł magik, po czym zaczął odliczać karty i szósta, którą wyłożył, była tą wybraną przez Alfreda.

W jaki sposób iluzjonista umieścił kartę we właściwym miejscu? Przyjrzyjmy się schematowi przedstawionemu na marginesie. Kolumna z nagłówkiem "Kod" to liczby od 0 do 26 zapisane w systemie trójkowym. Kolumna "Rozdanie" opisuje możliwe ułożenia każdej karty w kolejnych rozdaniach. Jak przebiegają rozdania i co właściwie robi iluzjonista?

Przebieg sztuczki dla iluzjonisty zaczyna się od pomniejszenia liczby Bereniki o 1 (stąd w prawej kolumnie zapis liczb od 0 do 26) - otrzymuje 5. Następnie przedstawia tę liczbę w systemie trójkowym: (zapis uzupełniamy zerami z lewej strony tak, aby otrzymać trzy cyfry). Czyta cyfry tej liczby od prawej do lewej (a więc odczytuje kolejno 2, 1 oraz 0) i każdej przyporządkowuje pozycję: góra - 0, środek - 1 oraz dół - 2. Iluzjonista dokłada po kolei jedną kartę na lewy stos, jedną na środkowy, jedną na prawy i tak dalej. Gdy wyłoży już wszystkie i Alfred wskaże stos z jego kartą, iluzjonista zbiera stosy i układa je w taki sposób, by stos z kartą Alfreda znalazł się w pozycji odpowiadającej kolejno przeczytanym cyfrom. Czyli: pierwsza przeczytana cyfra to 2, a więc po pierwszym rozdaniu iluzjonista umieszcza stos z kartą Alfreda na spodzie. Analogicznie w pozostałych rozdaniach: po drugim - w środku i po trzecim - na górze.

Przesunięcie na sam dół stosu, który jako pierwszy wskazał Alfred, spowoduje, że jego karta trafi do "puli" liczb, których pierwszą od lewej cyfrą jest 2 (patrz schemat, kolumna "Rozdanie 1"). Ułożenie kart w drugim rozdaniu redukuje lokalizację karty do miejsc, w których kodzie drugą cyfrą jest 1 (są to wiersze 6, 15 i 24, czyli liczby oraz ). Wreszcie - ułożenie ich po trzecim rozdaniu wskazuje pozycję szóstą i liczbę

Ponieważ jest dokładnie 27 różnych liczb trzycyfrowych w systemie trójkowym, to każda z pozycji jest opisana jednoznacznie.

Trik 3

- Bereniko, wybierz z pełnej talii kart jedną dowolną i zapamiętaj ją. Alfredzie, tym razem powiedz na głos jedną wybraną liczbę z przedziału od 1 do 52.
- Gotowe - odpowiada Berenika.
- Wybrałem 45 - dodaje po chwili Alfred.
- Świetnie! Bereniko, połóż teraz swoją kartę na wierzch stosu.
Iluzjonista zręcznie tasuje kilkukrotnie karty, po czym cierpliwie je odlicza i pokazuje, że na pozycji numer 45 jest wybrana przez Berenikę karta.

Sekret polega na sposobie tasowania kart - tak zwanych idealnych tasowaniach. Jest to dość trudna sztuka, polegająca na podzieleniu całego pliku kart na dwa równe stosy (po 26 kart każdy) i takim ich potasowaniu, aby karty potasowanej talii ułożone były naprzemiennie po jednej z każdego stosu. Poniżej przedstawiamy dwa możliwe schematy takiego tasowania dla 10 kart.

W jaki sposób iluzjonista wykorzystuje taką technikę? Podobnie jak w poprzednim triku od wybranej liczby odejmuje 1, tym razem jednak przedstawia tak otrzymaną liczbę w systemie dwójkowym: Następnie wykonuje serię tak zwanych 0-tasowań lub 1-tasowań (patrz rysunek na dole poprzedniej strony). W 0-tasowaniu karty z górnej połowy stosu umieszczane są na miejscach nieparzystych z zachowaniem ich kolejności w potasowanym pliku; w 1-tasowaniu górna połowa zajmuje odpowiednio pozycje parzyste. Iluzjonista wykonuje serię 0-tasowań i 1-tasowań zgodnie z kolejnymi cyframi rozwinięcia dwójkowego, od lewej do prawej. Przy wyborze Alfreda wykona zatem kolejno 1-tasowanie, 0-tasowanie, 1-tasowanie, 1-tasowanie, 0-tasowanie i 0-tasowanie.

Sekret działania triku ukryty jest w zapisie liczby w systemie dwójkowym i właściwej obserwacji tego, co dokładnie robią tasowania z kartami. Zauważmy, że 0-tasowanie podwaja liczbę kart nad każdą z kart górnej części stosu, zaś 1-tasowanie podwaja i dodaje jeszcze jedną nad.

Dokładnie to samo dzieje się, gdy "tłumaczymy" zapis binarny na dziesiętny, czytając cyfry od lewej do prawej: czytając 0 podwajamy liczbę; czytając 1 podwajamy i dodajemy 1. W opisanym przykładzie karta na wierzchu ma 0 kart nad sobą. Po pierwszym tasowaniu będzie miała 1 kartę, po drugim 2, po trzecim 5 i tak dalej, zgodnie z poniższym schematem:

Ostatecznie nad kartą będą 44 inne i iluzjonista może spokojnie rozpocząć odliczanie.

W tym triku, w odróżnieniu od poprzedniego, liczba tasowań jest zmienna i zależy od tego, ile cyfr ma reprezentacja binarna liczby.

Na zakończenie Czytelnik zapoznany z powyższymi sztuczkami pewnie nie będzie zaskoczony tym, że Trik 1. można uogólnić na więcej kart i szerszy zakres liczb, Trik 2. na liczbę kart postaci gdzie (ile wtedy będzie rozdań i na ile stosów?) oraz Trik 3. na dowolną (!) liczbę kart. Szczegóły pozostawiamy do samodzielnego opracowania i życzymy miłego zaskakiwania kolegów, koleżanek czy rodziców w różnych okolicznościach.