W tym momencie zachęcamy Czytelników do przerwania lektury i zastanowienia się, dla jakich  istnieje strategia gwarantująca wygraną.

Spróbujmy w następujący sposób: pierwsza osoba, nieważne, jak będzie się starać, ma 50% szans na odgadnięcie koloru swojego kapelusza. W pesymistycznym przypadku musimy więc założyć, że udzieli błędnej odpowiedzi i tym samym wykorzysta cały dostępny limit pomyłek. Pogodzeni z tym faktem, spróbujemy w jej odpowiedzi przemycić bit informacji dla pozostałych uczestników. Oznaczmy przez  kolor kapelusza -tej osoby (  jeśli jest to biały kapelusz, i   jeśli kapelusz jest czarny), a przez  liczbę czarnych kapeluszy, które -ta osoba widzi przed sobą.

Zrobimy teraz tak: pierwsza osoba mówi „biały”, jeśli  jest parzyste, a w przeciwnym przypadku mówi „czarny”. Co nam z tego przyjdzie? Ano tyle, że ta informacja wystarczy, by druga osoba bezbłędnie odgadła kolor swojego kapelusza. W istocie, ponieważ  zatem usłyszawszy przed chwilą wartość  bez trudu wyznaczy ona  Co więcej, każda kolejna osoba może postąpić podobnie, korzystając z faktu, że

oraz z tego, że zna wartości  oraz  Potrafimy więc znaleźć strategię dla dowolnie dużego  I tu nasuwa się pytanie: a co, jeśli  byłoby nieskończone? Innymi słowy, mamy nieskończony rząd osób, w którym -ta osoba widzi kapelusze wszystkich osób o większych numerach (jest ich, oczywiście, nieskończenie wiele). Czy i tym razem będzie istniała strategia? Podkreślmy, że nie osłabiamy żadnej z reguł zabawy, zatem nadal dopuszczamy tylko jedną pomyłkę. Zauważmy też, że nasza strategia dla skończonego  nie będzie tu działać, gdyż  może nie być liczbą naturalną.

Odpowiedź jest nieco zaskakująca: strategia istnieje. Po raz drugi zachęcamy Czytelników, aby przez (być może dłuższą) chwilę zmierzyli się z tym zadaniem samodzielnie.

Nieskończony ciąg  kolorów kapeluszy oznaczać będziemy przez  Powiemy, że dwa nieskończone ciągi  i  są w relacji  jeśli różnią się na skończenie wielu pozycjach. Piszemy więc  jeśli zbiór  jest skończony. Łatwo przekonać się, że tak zdefiniowana relacja  jest relacją równoważności. I teraz z pomocą przychodzi nam wspomniany w tytule pewien pewnik, a konkretnie pewnik wyboru – nieocenione źródło matematycznych paradoksów. Dzięki niemu możemy dla każdej klasy abstrakcji relacji  wybrać jej reprezentanta i poinformować wszystkich o tym, który został wybrany. Innymi słowy, istnieje taka funkcja  określona na zbiorze wszystkich ciągów kolorowań kapeluszy, która dla dowolnego  spełnia  oraz dla dowolnych  jeśli  to  Zauważmy teraz, że jeśli uczestnicy porozumieją się co do wyboru funkcji  to każdy z nich będzie mógł obliczyć ten sam ciąg  gdyż nie zna on tylko skończonej liczby wyrazów ciągu  Zauważmy też, że jeśli teraz -ty zawodnik odpowie  (nawet nie czekając na odpowiedzi poprzedników), to ponieważ  więc będziemy mieli tylko skończoną liczbę pomyłek.

W tym momencie spróbujemy wyeliminować te pomyłki metodą analogiczną jak w przypadku skończonym. Oznaczmy przez  zbiór numerów osób (poza pierwszą), których kolory kapeluszy  nie zgadzają się z kolorami w ciągu  czyli  Skoro  to zbiór  jest skończony. Niech  będzie liczbą osób ze zbioru  które widzi osoba  Niech też  jeśli  oraz  gdy  Każda z osób (poza pierwszą) musi zdecydować, czy nie należy do zbioru  i wtedy odpowiada zgodnie z  czy też należy (i wtedy musi odpowiedzieć przeciwnie). Pierwsza osoba podaje  Druga osoba wie, że  jest więc w stanie wyznaczyć  stwierdzić, czy należy do  i odpowiedzieć poprawnie. Analogicznie -ta osoba oblicza  z zależności

oraz z faktu, że  dla  jest równe 1 wtedy i tylko wtedy, gdy -ta osoba udzieliła odpowiedzi niezgodnej z wartością  I to by było na tyle, gdyby nie to, że pokazując istnienie strategii dla  otwieramy drogę kolejnym pytaniom: a co, jeśli  jest liczbą porządkową większą niż ? Zastanówmy się więc nad istnieniem strategii w przypadku  (czyli za nieskończonym rzędem osób stoi jeszcze jeden uczestnik o numerze  który odpowiada na samym końcu). Czytelnik znów zdecyduje, na jak długo przerwać w tym miejscu lekturę.

Wydawać by się mogło, że nie da się uniknąć co najmniej dwóch pomyłek, gdyż osoba  nie widząc nikogo innego, musi wprost otrzymać kolor swojego kapelusza, co wymagałoby przekazania dodatkowego bitu informacji. Jednak nie należy zapominać o tym, że usłyszała ona odpowiedzi wszystkich pozostałych uczestników, zatem zna kolory kapeluszy  (wszak ci uczestnicy odpowiadali poprawnie). Jest zatem w stanie obliczyć ciąg  i tym samym zbiór  W tym momencie łatwo już jest zmodyfikować strategię: pierwsza osoba zamiast  podaje  Pozostałe osoby o numerach naturalnych, widząc  są w stanie odzyskać  i grać jak poprzednio. Natomiast uczestnik  znając  bez trudu oblicza

Łatwo wskazać, jak zmodyfikować powyższą strategię, by działała w przypadku    a nawet  A jaką strategię zastosować dla ? A ? A może dla każdej liczby porządkowej można wskazać analogiczną strategię? Wreszcie, co w przypadku, gdy mamy więcej kolorów kapeluszy?