Warto (się) rozwijać»Zadanie 5
Na stole stoi stożek, w pewnym jego punkcie siedzi pająk. Chciałby on przespacerować się najkrótszą możliwą drogą dookoła stożka i wrócić do punktu wyjścia. Którędy powinien pójść?
Na stole stoi stożek, w pewnym jego punkcie siedzi pająk. Chciałby on przespacerować się najkrótszą możliwą drogą dookoła stożka i wrócić do punktu wyjścia. Którędy powinien pójść?
Na stole stoi szklanka, jej dno jest lepkie od soku. W pewnym miejscu wewnątrz siedzi mucha, w innym pająk. Pająk chce dotrzeć do muchy najkrótszą możliwą drogą, ale omijając sok. Którędy powinien pójść? W jaki sposób zmieni się rozwiązanie, jeśli mucha siedzi wewnątrz, a pająk na zewnątrz szklanki?
Sześcian przecięto płaszczyzną, uzyskując w przekroju pięciokąt opisany na okręgu. Udowodnić, że ten pięciokąt ma oś symetrii.
Niech będzie wielościanem wypukłym, środkowo-symetrycznym, i niech
będzie ustaloną płaszczyzną, przechodzącą przez środek symetrii. Przekrój wielościanu
płaszczyzną
jest zawarty w kole o promieniu
Udowodnić, że przekrój wielościanu
każdą płaszczyzną, równoległą do
jest zawarty w pewnym kole o promieniu
- lub podać przykład, pokazujący nieprawdziwość takiego stwierdzenia.
Czy w sześcianie o krawędzi 20 zmieści się kwadrat o boku 21?
Czy w sześcianie o krawędzi 20 można wywiercić tunel, przez który da się przesunąć sześcian o krawędzi 21?
Wierzchołek czworościanu nazwijmy ciekawym, jeśli z trzech wychodzących zeń krawędzi nie da się zbudować trójkąta.
Czy z prostopadłościennych klocków o wymiarach można ułożyć prostopadłościan o wymiarach
Z klocków o wymiarach zbudowano sześcian
Wykaż, że istnieje taka prosta równoległa do jednej z krawędzi sześcianu i przechodząca przez jego wnętrze, która nie przecina wnętrza żadnego z klocków.
Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu o krawędzi 2 jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych, z których jest on zbudowany. Udowodnij, że po usunięciu z sześcianu o krawędzi dowolnego spośród
tworzących go sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.
W trapezie podstawa
ma długość 2. Długości pozostałych boków tego trapezu są równe 1. Punkt
jest wierzchołkiem ostrosłupa o podstawie
w którym
Wyznacz stosunek objętości tego ostrosłupa do objętości czworościanu foremnego o krawędzi 1.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego każda krawędź ma długość 1. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i uzyskano w przekroju czworokąt wypukły nie będący trapezem. Proste
i
przecinają się w punkcie
Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjąć odległość punktu
od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Dany jest sześcian o podstawie i krawędziach bocznych
Wyznacz miarę kąta dwuściennego między płaszczyznami
i
Dwie spośród ścian pewnego wielościanu są przystającymi wielokątami położonymi w równoległych płaszczyznach, przy czym jedną z nich można tak przesunąć, by uzyskać drugą. Wszystkie pozostałe ściany tego wielościanu są równoległobokami. Czy wynika z tego, że rozważany wielościan jest graniastosłupem?
Przekątne czworokąta wpisanego w okrąg o środku
przecinają się w punkcie
Niech
będą środkami okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach
i
Wykazać, że proste
i
przecinają się w jednym punkcie.
Czy istnieje wielościan o 333 ścianach, z których każda jest trójkątem?
Czy istnieje wielościan o 7 krawędziach?
Czy istnieje wielościan wypukły mający krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca
krawędzi, przy czym