Delta mi!

Ściany są przystającymi trójkątami równoramiennymi, z jednakowym kątem przy wierzchołku Niech Oznaczając mamy

(1)

Pole trójkąta wynosi ; podobnie wyrażają się pola trójkątów Suma kwadratów ich pól jest równa ; tu i dalej symbol oznacza sumę cykliczną względem trójki (lub ).

Kwadrat pola trójkąta wyrażamy zgodnie ze wzorem Herona jako

Uzyskana wartość ma być równa ; mnożąc przez 4 dostajemy równanie

(2)

Po wprowadzeniu w miejsce wyrażeń (1) i pogrupowaniu wszystkiego według potęg (to mechaniczny rachunek) okazuje się, że wyrazy niezawierające znoszą się, a całe równanie (2) redukuje się do postaci

Kąt jest niezerowy, więc ; stąd czyli Zatem każdy z trójkątów jest prostokątny i równoramienny, o przeciwprostokątnej długości 1; przyprostokątne mają długość Ostrosłup jest szóstą częścią sześcianu o krawędzi Jego objętość wynosi

Ściany i ostrosłupa z rysunku są prostopadłe do podstawy.

Nie, ostrosłup z rysunku ma wszystkie kolorowe krawędzie równej długości, więc spełnia warunki zadania, a nie jest prawidłowy.

Na rysunku przedstawiony jest widok z góry takiego czworościanu. Wysokość opuszczona z kolorowego wierzchołka jest bardzo niewielka.

Jak widać, istnieje czworościan, którego każda ściana jest prostokątna.

W czworościanie z rysunku wysokość (na ścianę ) nie ma wspólnych punktów z wysokością (na ścianę ), tym bardziej nie można więc oczekiwać wspólnego punktu dla wszystkich czterech wysokości.

Taki jedenastościan można uzyskać, obcinając wszystkie wierzchołki graniastosłupa trójkątnego tak, by otrzymać zamiast nich 6 trójkątnych, parami rozłącznych ścian (pozostałych 5 ścian powstaje ze ścian wyjściowego graniastosłupa).

Wielościan Schönhardta. Zewnętrzne kąty dwuścienne przy kolorowych krawędziach są mniejsze od (M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z księgi, Wyd. Nauk. PWN, 2002).

Dowolny czworościan, który miałby zawierać dolną podstawę wielościanu z rysunku, musiałby także zawierać któryś z jego górnych wierzchołków. Jednak taki czworościan nie byłby w całości zawarty w tym wielościanie.

W czworościanie z rysunku spodek wysokości z wierzchołka to punkt Wysokość z wierzchołka zawarta jest w prostej prostopadłej do płaszczyzny więc spodek tej wysokości to środek przedniej ściany sześcianu. Analogicznie spodkiem wysokości z wierzchołka jest środek kwadratu Przekątna sześcianu jest prostopadła do ściany czworościanu, zatem wysokość z wierzchołka jest równoległa do a co za tym idzie jej spodek również trafia poza odpowiednią podstawę.

Załóżmy, że  kul o promieniach  spełnia podaną własność (pokrywa wszystkie ściany  ). Wówczas  gdzie  to pole powierzchni bocznej   Ponadto

Stosując nierówność Höldera do ciągów  i wag    otrzymujemy

skąd

więc wystarczy przyjąć

Odpowiedź: Nie!
Zauważmy najpierw, że punkt jest środkiem symetrii zbioru Istotnie, symetria o środku przeprowadza wektor na Dla dowolnego w postaci mamy

Przypuśćmy, że dla pewnych wektorów zbiór to ośmiościan foremny i że jest najmniejsze możliwe (oczywiście ). Zauważmy, że wtedy jest ścianą czyli trójkątem równobocznym, który nie ma środka symetrii – sprzeczność.

Równoległościanem opisanym na czworościanie foremnym o krawędzi 1 jest sześcian o krawędzi

Suma odległości punktu  od dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu jest nie mniejsza od sumy odległości  od zawierających je przeciwległych ścian sześcianu, która z kolei jest większa lub równa odległości pomiędzy takimi ścianami, czyli długości krawędzi sześcianu. Czworościan ma trzy pary przeciwległych krawędzi, stąd

Tak, dla każdego czworościanu  zbudujemy czworościan  o żądanych własnościach. Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była większa od pola każdej ściany czworościanu  Niech  będzie taką liczbą, aby liczba  była mniejsza od objętości czworościanu

Niech  będzie czworościanem wpisanym w prostopadłościan o podstawie  i wysokości  Objętość  równa jest  Każdą ścianę czworościanu  można zrzutować na połowę podstawy prostopadłościanu, więc jej pole przekracza  Z definicji liczb  i   czworościany  i   spełniają żądane warunki.

Wykażemy, że nie można. Rozważmy czworościany  i   wpisane odpowiednio w prostopadłościany o wymiarach  oraz

Promienie opisanych na nich kul to połowy głównych przekątnych prostopadłościanów, więc są one równe:  oraz

Z twierdzenia Pitagorasa, każda ściana czworościanu  jest trójkątem o bokach  oraz  Wysokość takiego trójkąta, opuszczona na bok o długości  równa jest

Stąd pole każdej ze ścian czworościanu  równe jest

Analogicznie pole każdej ściany czworościanu  też równe jest

Czworościany  i   mają więc równe pola ścian i promienie kul opisanych. Tymczasem ich objętości są różne:  oraz

Nie. Wystarczy spojrzeć na dowolny wierzchołek: suma dwóch mniejszych kątów przy nim równa jest  czyli trzeciemu kątowi.

Nie. Kąty płaskie przy wierzchołku  spełniają warunek  Z kolei rozważając kąt trójścienny przy  oraz trójkąty prostokątne  i   wnioskujemy, że

czyli – sprzeczność.

Suma wszystkich kątów płaskich czworościanu równa jest  jako suma kątów czterech trójkątów. Wobec tego istnieje taki wierzchołek czworościanu, przy którym suma trzech kątów płaskich nie przekracza  w przeciwnym razie suma wszystkich kątów płaskich czworościanu przekraczałaby

Oznaczmy kąty płaskie przy tym wierzchołku przez  Wówczas  więc

czyli  Analogicznie  oraz