Delta mi!

Pomalujmy sześcian jaskrawą farbą przed pocięciem. Po pocięciu jeden z sześcianików będzie miał wszystkie ściany niepomalowane. A ścian tych jest 6. Ponieważ żadnych dwóch z nich nie można otrzymać w jednym cięciu, więc mniej ich być nie może (a czy może być 6?).

W czworościanie ortocentrycznym niech będzie środkiem sfery opisanej, a   i  – środkami krawędzi  i  . Przez   oznaczmy środek odcinka , czyli środek ciężkości czworościanu . Niech będzie punktem symetrycznym do  względem  (rysunek). Punkty leżą wtedy na jednej prostej, a   jest środkiem odcinka  . Wobec tego chcemy wykazać, że jest ortocentrum czworościanu  .

Zauważmy, że czworokąt jest równoległobokiem. W szczególności proste  i  są równoległe. Z definicji punktów  i  wynika, że odcinki i  są prostopadłe, więc również . Stąd i z prostopadłości prostych  i  ( jest ortocentryczny!) wynika, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej  . W takim razie prosta jest prostopadła do prostej  . Analogicznie dowodzimy, że jest prostopadła również do prostej  .

To zaś oznacza, że jest prostopadła do całej płaszczyzny , czyli stanowi wysokość czworościanu . Podobnie dowodzimy, że proste są wysokościami rozpatrywanego czworościanu, co kończy dowód.

Niech będzie punktem przecięcia wysokości czworościanu poprowadzonych z wierzchołków  i  Mamy , więc też i analogicznie . W takim razie płaszczyzna jest prostopadła do krawędzi , w szczególności . Na prostej  wybierzmy taki punkt  , że . Zatem płaszczyzna jest prostopadła do krawędzi . Niech  i  będą wysokościami trójkąta (rysunek obok). Prosta jest prostopadła zarówno do  , jak i do  (bo leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej krawędzi). Jest więc wysokością czworościanu poprowadzoną z wierzchołka  . Analogicznie dowodzimy, że również jest wysokością danego czworościanu. Te dwie proste mają punkt wspólny będący ortocentrum trójkąta . Dowód jest więc zakończony.

Skoro , to a więc Ponadto skąd Zatem płaszczyzna jest prostopadła do prostej  W takim razie . Analogicznie udowodnimy, że Zatem punkt  jest ortocentrum trójkąta 

Rys. A.

Niech  i  będą punktami styczności sfery wpisanej w czworościan odpowiednio ze ścianami i  , a   i  punktami styczności sfery dopisanej odpowiednio z płaszczyznami i  . Wówczas trójkąty i  są przystające (Rys. A.). Oznaczmy miary kątów trójkąta przy wierzchołkach odpowiednio przez . Trójkąty i  są przystające, skąd wynika, że (Rys. B.). Analogicznie . Niech . Wtedy (bo ). Jednakże  i  , więc

(Rys. C.), skąd . Zatem . Analogicznie dowodzimy, że , a to oznacza, że jest punktem przecięcia wysokości trójkąta .

Niech  i  będą punktami styczności sfery wpisanej odpowiednio ze ścianami i  . Trójkąty utworzone przez pewną krawędź i punkty styczności sfery wpisanej z dwoma ścianami zawierającymi tę krawędź są przystające. Wygodnie jest teraz wszystko rysować na siatce Oznaczmy: , , , , , .

Otrzymujemy

Dodając stronami pierwsze trzy równości i uwzględniając czwartą, dostajemy

Stąd i z trzeciej równości dostajemy . Zatem .

Bierzemy mianowicie wielościan o parzystej liczbie krawędzi i parzystokątnych ścianach (a więc np. graniastosłup) i pociągamy mocno za jedną z przekątnych jednej ze ścian tak, aby ściana ta przełamała się na dwie (na rysunku pociągnęliśmy w górę przekątną  ściany ).

W ten sposób przekątna, za którą pociągnęliśmy, staje się nową krawędzią – ponieważ krawędzie początkowego wielościanu dalej są krawędziami i jest ich parzysta liczba, więc łącznie mamy teraz nieparzystą liczbę krawędzi. ,,Stare” ściany były i są parzystokątne, więc problem jest tylko w tym, by nowe dwie ściany takie były. Wobec tego przełamywana ściana musi mieć co najmniej 6 krawędzi (i tak jest na rysunku).

rys. 1

Weźmy pod uwagę sferę dopisaną do czworościanu styczną do ściany w punkcie  , który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt oraz styczną do płaszczyzn i  odpowiednio w punktach  i  . Zauważmy, że  i 

rys. 2

To oznacza, że trójkąty i  są przystające, a stąd

(rys.1 przedstawia półpłaszczyzny ścian i  ,,rozłożone płasko”).

Podobnie uzasadniamy, że (rys.2) przedstawia półpłaszczyzny  i  ,,rozłożone płasko”) – oraz że

Oczywiście ; stąd i w konsekwencji

Rozważając sferę dopisaną, styczną do ściany , stwierdzamy analogicznie, że . Zatem wszystkie kąty płaskie ścian przy wierzchołku  są równe:

W ten sam sposób dowodzimy, że trzy kąty płaskie przy wierzchołku są równe (oznaczmy ich miarę przez ), kąty przy wierzchołku są równe oraz kąty przy wierzchołku są równe .

Patrząc na sumy kątów w trójkątach ABD i BCD widzimy, że Analogicznie uzasadniamy, że To znaczy, że wszystkie kąty wszystkich ścian czworościanu są równe. Zatem ściany są trójkątami równobocznymi i czworościan jest foremny.