Delta mi!

Jeśli jest liczbą nieparzystą, to liczby są nieparzyste, a więc niemożliwe, by

Na mocy wzoru Eulera oraz nierówności uzyskujemy Pozostałych nierówności dowodzimy analogicznie.

Niech oznacza liczbę krawędzi ściany dla wówczas Suma kątów płaskich ścian wielościanu równa jest

Jeśli nie ma, to oraz zatem sprzeczność.

Oznaczmy przez liczbę ścian -kątnych, a przez liczbę naroży -ściennych

Wtedy oraz Stąd

Jeśli wielościan ma ścian pięciokątnych i sześciokątnych, to oraz Wielokąty są foremne, zatem w każdym wierzchołku schodzą się po trzy. Stąd czyli a więc

Zatem - wielościan ma 12 ścian pięciokątnych.

Pozostawiamy Czytelnikom uzasadnienie, że krawiec może uszyć tylko dwunastościany foremne i piłki nożne.

Szukamy wielościanów wypukłych zbudowanych z -kątów foremnych, po w każdym wierzchołku. Oznacza to, że oraz Wobec tego

przy czym Równanie to ma pięć rozwiązań.

Skądinąd znamy pięć wielościanów foremnych: dla czworościan, - sześcian, - ośmiościan, - dwunastościan i - dwudziestościan. Powyższe rozumowanie wskazuje, że więcej ich być nie może.

Odp. Nie!
Dwudziestościan foremny jest środkowosymetryczny, więc każdy jego przekrój płaszczyzną przechodzącą przez jego środek również. Nie istnieje natomiast środkowosymetryczny jedenastokąt.

Rysunek przedstawia krótszą drogę, co łatwo sprawdzić, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

W przypadku przedstawionym na rysunku każda z możliwych dróg ma długość co najmniej

Można skserować, wyciąć, spróbować złożyć "siatkę" i zobaczyć, że z sklejają się w innym punkcie, niż z Wynika to z faktu, że na rysunku wysokości trójkątów, poprowadzone z wierzchołków nie przecinają się w jednym punkcie - spodku wysokości ostrosłupa - a powinny.

Rys. 1

Rys. 2

Opiszemy, jak go skonstruować. Rozpatrzmy sześciokąt o wszystkich bokach równej długości i kątach przy wierzchołkach równych odpowiednio: Niech będzie punktem przecięcia przekątnych oraz a punktem przecięcia przekątnych oraz (Rys. 1). Łatwo wykazać, że Wybierzmy teraz w przestrzeni punkty oraz po tej samej stronie płaszczyzny sześciokąta, tak aby proste i były prostopadłe do tej płaszczyzny oraz aby Wielościan (Rys. 2) spełnia warunki zadania - ma jedną ścianę, podstawę, która nie jest wielokątem foremnym, cztery ściany będące trójkątami równobocznymi i dwie ściany kwadratowe. Sprawdzenie tego faktu pozostawiamy Czytelnikom.

Tak, taki ostrosłup istnieje. Jeśli dokładnie przyjrzymy się prostopadłościanowi, to dostrzeżemy "w nim" nasz ostrosłup. Rzeczywiście, niech będzie prostopadłościanem. Wówczas ostrosłup spełnia warunki zadania.

Trójkąty oraz są, oczywiście, prostokątne. Ponadto, ponieważ prosta jest prostopadła do płaszczyzny to jest ona prostopadła do każdej prostej z tej płaszczyzny, w szczególności do prostej Zatem trójkąt jest prostokątny. Podobnie dowodzimy, że trójkąt jest prostokątny.

Tak, taki wielościan istnieje. Rozpatrzmy graniastosłup sześciokątny o podstawach oraz Graniastosłup ten ma 18 krawędzi i wszystkie jego ściany mają parzystą liczbę boków. Gdyby udało się dodać jedną krawędź, nie zmieniając własności ścian, to otrzymany wielościan spełniałby warunki zadania. Zauważmy, że sześciokąt można bez trudu podzielić jedną z przekątnych na dwa czworokąty. Teraz tylko trzeba zrobić z tych czworokątów ściany wielościanu przez pochylenie jednego z nich. Poprowadźmy więc przez punkty oraz płaszczyznę przecinającą krawędzie i odpowiednio w punktach oraz Płaszczyzna ta dzieli graniastosłup na dwa wielościany, z których jeden spełnia warunki zadania: ma osiem ścian będących czworokątami i jedną ścianę sześciokątną. Ponadto wielościan ten ma krawędzi.

Czytelnik Uważny skonstruuje podobną metodą inne przykłady wielościanów o zadanych własnościach, rozpatrując graniastosłup o podstawie będącej -kątem, dla

W każdym wierzchołku graniastosłupa o podstawie będącej 99-kątem zbiegają się dokładnie trzy krawędzie. Niestety, taki graniastosłup na 101 ścian. Spróbujemy pozbyć się jednej ściany tak, aby pozostałe własności nie zmieniły się. Przetnijmy nasz graniastosłup płaszczyzną przechodzącą przez jedną krawędź dolnej podstawy i przecinającą wszystkie boczne krawędzie. Płaszczyzna ta dzieli graniastosłup na dwa wielościany, z których dolny spełnia warunki zadania.

Rozpatrzmy graniastosłup trójkątny i płaszczyzną przechodzacą przez środki krawędzi wychodzących z jednego, wybranego wierzchołka odetnijmy z niego czworościan zawierający ten wierzchołek. Następnie w ten sam sposób odetnijmy czworościany z pozostałych "rogów" graniastosłupa. Otrzymany wielościan spełnia warunki zadania.