Kluska w uchu wielbłąda albo arytmetyka moralna

Powiada Ewangelia: Łatwiej jest wielbłądowi przejść przez ucho igielne, niż bogatemu wejść do królestwa niebieskiego.

Lingwiści, i nie tylko oni, próbują znaleźć jakieś sensowne wyjaśnienie tych słów. Na przykład Cyryl Aleksandryjski twierdził, że jest to językowe nieporozumienie, a Jezus miał w rzeczywistości na myśli nie wielbłąda, lecz linę. Oba te wyrazy mogły być pomylone z powodu zachodzącego w języku greckim procesu nazwanego itacyzmem. Polegał on na zamianie litery $η$ na literę $ι$ ( $|κ´αµη λoς$ to wielbłąd, natomiast $κα´µιλoς$ to lina). Jest to tym bardziej prawdopodobne, że aramejskie słowo gamla oznaczało zarówno samego wielbłąda, jak i wykonaną z jego sierści linę. Jak to często bywa, winny jest niedouczony interpretator.

Z podobną grą słów mamy do czynienia w pewnym ciekawym zagadnieniu dotyczącym rachunku prawdopodobieństwa. Aby je omówić, zaczniemy od rzeczy powszechnie znanej, czyli od igły Buffona, opisanej przezeń w 1777 roku w Szkicu o arytmetyce moralnej. Rzucamy igłą o długości $l$ na płaszczyznę podzieloną równoległymi liniami, przy czym odległość $d$ między sąsiednimi liniami spełnia warunek $d ⩾ l.$ Niech $z$ oznacza odległość igły od najbliższej linii, natomiast $Θ$ mniejszy z kątów, jaki igła tworzy z tą linią. Możliwe wartości $|z$ i $Θ$ leżą w przedziałach, odpowiednio, $|[0, d2]$ i $[0,π 2].$ Przyjmujemy, że $|z$ i $Θ$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych. Długość rzutu igły na kierunek prostopadły do linii jest równa $|lsin Θ$ Jeżeli środek igły jest odległy od najbliższej linii o mniej niż $1 2l sin Θ$ (Rys. 1), to igła przecina linię. Prawdopodobieństwo przecięcia linii jest więc równe stosunkowi pola $|S$ pod sinusoidą $1 |2lsin Θ$ i pola prostokąta o bokach $π 2$ i $d |2$ (Rys. 2).

Pole $S$ możemy obliczyć, dzieląc odcinek $π [0, 2]$ na $|N$ małych odcinków. Niech $|x j = jπ, 2N$ $, | j = 0,...,N$ będą końcami kolejnych odcinków. Wtedy $|S$ przybliżamy jako

$pict$

Szukane prawdopodobieństwo jest równe $|P = 2l, πd$ a w szczególności dla $|l = d$ otrzymujemy $2 P = π.$ Wynik ten pozwala "zmierzyć" wartość liczby $π.$ Nie trzeba rzucać prawdziwą igłą, wystarczy "doświadczenie komputerowe". Jeśli posłużymy się definicją prawdopodobieństwa podaną przez Laplace'a, to dla $l = d$ mamy

N- π ≃ 2x ,

gdzie $N$ to liczba rzutów, a $x$ to liczba przecięć. Ponieważ przyjęliśmy (arbitralnie?) jednostajność obu rozkładów, można też twierdzić, że w rzeczywistości nie tyle wyznaczamy wartość $| π,$ ile testujemy to założenie.

Wszystkim, których zdumiewa obecność liczby $| π$ w zadaniu dotyczącym rachunku prawdopodobieństwa, Hugo Steinhaus wyjaśniał w charakterystycznym dla siebie stylu, że jest to ilustracja powiedzenia fortuna kołem się toczy. Jednak w rzeczywistości to nie powinno dziwić. Liczba $|π$ jest zdefiniowana jako stosunek długości okręgu do jego średnicy. Zauważmy, że wszystkie możliwe położenia jednego końca igły względem drugiego tworzą okrąg, którego promień jest długością tej igły. A zatem jesteśmy w domu.

A teraz zrobimy z liny ewangelicznego wielbłąda. A raczej z igły Buffona uczynimy matematyczną linę albo kluskę. Podamy rozwiązanie podobnego zagadnienia, którego autorem jest Joseph-Émile Barbier. Ta wersja problemu igły Buffona (ang. Buffon's needle) nosi żartobliwą nazwę kluski Buffona (ang. Buffon's noodle).

W przypadku $l ⩽d,$ który tu rozważamy, możliwe jest co najwyżej jedno przecięcie igły z linią. Wprowadzimy nową zmienną losową przyjmującą wartość 1, gdy igła przecina linię, i 0, gdy igła nie przecina linii. Obliczmy wartość średnią tej zmiennej. Jest ona równa

µ 1 = 1⋅P +0 ⋅(1− P) = P.

Widzimy, że jest to prawdopodobieństwo przecięcia linii przez igłę. Wyrażenie po prawej stronie powyższego równania jest zarazem średnią liczbą przecięć, $µ 1.$ Zastąpimy teraz igłę przez łamaną złożoną z $|n$ odcinków. Niech $|x1,...,xn$ będą liczbami przecięć linii przez te odcinki, natomiast $|x$ ich sumą, czyli liczbą przecięć linii przez łamaną. Wielkości $x i$ nie są niezależnymi zmiennymi losowymi, ale to bez znaczenia, bo średnia liczba przecięć linii przez łamaną i tak jest sumą średnich liczb przecięć linii przez odcinki

n ⟨x⟩ =Q ⟨xi⟩ . i 1

Przejdziemy teraz z łamaną do granicznej krzywej gładkiej (czyli naszej kluski) o ustalonej długości, zwiększając do nieskończoności liczbę odcinków łamanej. Średnia liczba przecięć kluski jest proporcjonalna do jej długości $|l$ i wynosi tyle samo co dla igły Buffona:

µ1(l) = 2l-. πd

Swoją drogą, Barbier udowodnił w rzeczywistości coś więcej, bo nazwane jego imieniem twierdzenie, które mówi, że dla dowolnej zamkniętej krzywej o stałej szerokości stosunek jej długości do jej średnicy zawsze jest taki sam i równy $π ,$ niezależnie od kształtu tej krzywej.

Rozwiązanie zagadnienia Buffona wielokrotnie testowano eksperymentalnie. Wspomnimy tu o jednym tylko wyniku, uzyskanym w 1901 roku przez włoskiego matematyka Mario Lazzariniego, który rzucał $3408$ razy igłą o stosunku długości do szerokości paska równym $5/6.$ W tym przypadku $|π≈ 53 Nx.$ Lazzarini uzyskał robiący wrażenie rezultat o błędzie mniejszym od $3 ⋅10−7$ ; było to przybliżenie $π ≈ 355. 113$ Podejrzenie wzbudził jednak fakt, że powyższe przybliżenie znane jest od dawna jako najlepsze wymierne przybliżenie $|π,$ jeśli ograniczyć się do liczb co najwyżej pięciocyfrowych. Jeśli spełniony jest warunek $, x = 112133N$ to otrzymamy właśnie owo wspomniane najlepsze przybliżenie. Łatwo tego dokonać. Wystarczy wybrać liczbę $n$ będącą wielokrotnością liczby $|213,$ a wtedy $|x$ jest liczbą całkowitą. Liczba $3408 = 16 ⋅213$ jest taką wielokrotnością. Dziś uważa się wynik Lazzariniego za oszustwo (co jest przecież rzeczą niemoralną) albo raczej za wyrafinowany żart (a to już zupełnie inna sprawa).

W tytule oryginalnej pracy Buffona występuje nazwa arytmetyka moralna. Pojęcie to wywodzi się z chętnie praktykowanej przez Anglosasów (a zwalczanej przez myślicieli chrześcijańskich) filozofii utylitaryzmu (Bentham), która uczy, że o moralnej wartości czynu świadczą jedynie jego skutki. Stąd, podejmując decyzje moralne, jesteśmy zmuszeni dokonywać swoistego rachunku użyteczności, czyli arytmetyki albo buchalterii moralnej, i szacować miarę pozytywnych oraz negatywnych skutków naszych czynów. Propozycja rozstrzygania konfliktu wartości i określenia moralnego obowiązku w oparciu o ową buchalterię moralną opiera się na (naiwnym z dzisiejszego punktu widzenia) założeniu, że możliwe jest odkrycie jakiejś wspólnej miary dla wszystkich ludzkich wartości i że taki uniwersalny zbiór niewykluczających się wzajemnie wartości istnieje.

Ewangelista, być może, powiedziałby, że miarą jest ucho igielne...