Oznaczmy przez wyniki kolejnych gier, tzn. wynosi 1, jeśli w -tej grze odniosłeś sukces oraz 0 w przeciwnym przypadku. W naszych rozważaniach przyjmiemy, że zmienne są niezależne, co w tym prostym przypadku oznacza dokładnie tyle, że dla dowolnego zero-jedynkowego ciągu zachodzi

co, uwzględniwszy Twoje nadludzkie zdolności gry w blackjacka, pozwala nam stwierdzić, że

gdzie Zauważmy, że zgodnie z powyższą równością prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego skończonego ciągu wyników w kolejnych grach nie zależy od kolejności, w jakiej te wyniki zostaną ustawione - innymi słowy, dla dowolnej permutacji zbioru zachodzi

Własność tę nazywamy wymienialnością (ang. exchangeability) ciągu zmiennych Ciąg wyników niezależnych powtórzeń dowolnego doświadczenia stanowi zatem ciąg wymienialny, jak się jednak zaraz okaże, nie jest to jedyna sytuacja, w jakiej możemy tę cechę zaobserwować.

Załóżmy bowiem, że krupier - zaniepokojony Twoimi nadspodziewanie dobrymi rezultatami w blackjacku - zaproponował następujące urozmaicenie rozrywki. Tym razem masz rozpocząć grę od wyboru jednej z dwóch pozornie identycznych talii, przy czym jedna z nich jest zupełnie uczciwa, a druga - przeznaczona dla gości specjalnych - niezupełnie, co objawia się zmniejszeniem Twoich szans na wygraną do Abstrahując od absurdalności opisanej sytuacji, przypuśćmy, że zdecydowałeś się przystać na ofertę krupiera. Zauważmy, że tym razem opisane w poprzednim akapicie zmienne są zależne - intuicyjnie można się w tym miejscu powołać na fakt, że przegrana w pierwszej grze wpłynie na Twoją ocenę szans wygranej w drugiej grze (każe Ci bowiem przypuszczać, że wybrałeś nieuczciwą talię), a takie wnioskowanie nie może mieć miejsca przy zmiennych niezależnych. Mamy jednak w tej sytuacji do czynienia z warunkową niezależnością - jeśli bowiem mielibyśmy pracującego w kasynie przyjaciela, który zdradziłby nam, czy wybraliśmy uczciwą talię, to żadna informacja o dotychczasowym przebiegu naszych zmagań nie wpłynęłaby na ocenę szans na sukces w przyszłych rozgrywkach. Istotnie, jeśli przyjaciel opisał talię jako uczciwą, to nawet gdybyśmy doświadczyli 10 przegranych pod rząd, nasze szanse na powodzenie w 11 rozgrywce wciąż ocenialibyśmy na (o ile jeszcze nie zaczęliśmy się zastanawiać, czy aby na pewno nasz przyjaciel jest naszym przyjacielem). Jeśli więc przez oznaczymy naszą szansę na sukces przy grze wybranymi kartami ( dla uczciwej talii, w przeciwnym przypadku ), to dla dowolnej liczby naturalnej oraz permutacji zbioru możemy zapisać

Oznacza to, że podobnie jak w poprzednim przypadku kolejne wyniki tworzą ciąg wymienialny. Analogiczne rozumowanie moglibyśmy przeprowadzić, gdyby zmienna, pod warunkiem której kolejne gry są niezależne z tym samym prawdopodobieństwem sukcesu, była dużo bardziej skomplikowana (na przykład gdybyśmy na początku w jednostajny sposób losowy wybierali z odcinka prawdopodobieństwo wygranej w kolejnych grach). Rozważania te prowadzą do naturalnego pytania: czy możemy skonstruować nieskończony ciąg doświadczeń losowych o wymienialnych rezultatach (w sensie sukcesu lub porażki) w inny sposób niż poprzez niezależne kopie tego samego eksperymentu z losowo wybranym na początku prawdopodobieństwem sukcesu?

Zanim odpowiemy na to pytanie, zastanówmy się, w jaki sposób możemy w trakcie rozgrywki z krupierem przekonać się, którą z talii wybraliśmy - innymi słowy, jaką wartość zmiennej wylosowaliśmy. Odpowiedź jest mocno intuicyjna - spodziewamy się, że wraz ze wzrostem liczby gier coraz lepszym przybliżeniem prawdopodobieństwa wygranej będzie udział naszych zwycięstw we wszystkich dotychczasowych grach. Przekładając tę intuicję na wprowadzone oznaczenia, możemy zapisać

(1)

Powyższa zależność okaże się wskazówką do udowodnienia następującego twierdzenia

Wyobraź sobie teraz, Czytelniku, że krupier zaproponował Ci nową grę i z jego wieloletniego doświadczenia wynika, że rezultaty kolejnych rozgrywek tworzą ciąg wymienialny. Przypuśćmy, że chwilę po rozpoczęciu zabawy przysiada się do Ciebie wysoki, elegancko ubrany dżentelmen o prawym oku czarnym, a lewym zielonym. Nachyla się do Twojego ucha i szepcze z cudzoziemskim akcentem "Annuszka kupiła już olej słonecznikowy, a po setnej grze będziesz miał dwadzieścia wygranych", po czym ulatnia się tak nagle, jak się pojawił. Coś w jego wyglądzie każe Ci zawierzyć usłyszanej przepowiedni, dlatego czym prędzej sięgasz po coś do pisania i obliczasz, w jaki sposób uzyskana informacja wpływa na Twoją ocenę opłacalności gry w kolejnych rundach. Przyjmując oznaczenie na liczbę sukcesów po -tej rozgrywce oraz dając wiarę zapewnieniom krupiera o wymienialności ciągu wyników, stwierdzamy, że

(2)

gdyż każdy z -wyrazowych ciągów wyników z sukcesami jest równie prawdopodobny. Spróbujmy teraz obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów w -tej rundzie, gdzie Pamiętajmy, że po -tej rundzie mamy mieć na koncie zwycięstw. Każda z permutacji tych przyszłych wyników jest równie prawdopodobna, zastanówmy się zatem, jak wiele z nich oznacza sukcesów po rundach. Najpierw musimy wybrać zwycięskich rund spośród pierwszych na sposobów, następnie pozostałych sukcesów spomiędzy końcowych rozgrywek na sposobów. Ponadto zwycięskie rundy możemy pomieszać na sposobów, a przegrane na co przy wszystkich możliwych permutacji daje nam równość

gdzie Niestety, w kasynie nie powinniśmy liczyć na pomoc sił nadprzyrodzonych, jednak uzyskana wyżej równość i tak może być użyteczna dla naszych celów. Zauważmy bowiem, że nawet jeśli nie znamy wartości to - korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite - możemy uzyskać

Przyjmijmy teraz oznaczenie co pozwoli powyższą zależność przepisać w postaci

Jest ona prawdziwa dla dowolnych liczb naturalnych Ustalmy teraz i zwiększajmy Niestety, nie możemy jeszcze stwierdzić, że zmienne zbiegają w jakimś sensie do jednej zmiennej. Wszystkie jednak są zmiennymi na - okazuje się, że w tej sytuacji jest im na tyle ciasno, że jesteśmy w stanie wybrać z nich podciąg zbieżny (w pewnym sensownym sensie) do konkretnej zmiennej losowej na Wyobraźmy sobie teraz, że wspomniany wcześniej tajemniczy cudzoziemiec zdradził nam, że gdybyśmy grali w nieskończoność, zmienna osiągnęłaby wartość Przeprowadzając poprzednie rozumowanie, moglibyśmy wówczas dojść do równości

(3)

dla dowolnej liczby naturalnej Okazuje się teraz, iż wraz ze wzrostem

• "koncentruje się" wokół tzn. jeśli wybierzemy dowolnie małe otoczenie to suma wspomnianych prawdopodobieństw dla spoza tego otoczenia będzie zbiegała do 0,
• różnica między a zbiega do 0. By się o tym przekonać, wystarczy sprawdzić, że oba ciągi są ograniczone, a ich iloraz zbiega do 1.

Powyższe uwagi miały za zadanie skłonić Czytelnika, by uwierzył, że dysponując odpowiednim zapasem cierpliwości i zręcznością w posługiwaniu się epsilonami i deltami, można wykazać, że prawa strona równania (3) zbiega do przy co oczywiście pociąga za sobą Korzystając z "warunkowego" odpowiednika równości (2), dostajemy zatem

Oznacza to dokładnie tyle, że przy ustalonej wartości zmiennej wymienialne zmienne są niezależne oraz wszystkie mają ten sam rozkład o prawdopodobieństwie sukcesu wskazywanym przez Innymi słowy, pracujący w kasynie analityk nie byłby w stanie, bazując wyłącznie na wynikach, odróżnić naszej gry od takiej, która polegałaby na niezależnych powtórzeniach tej samej rozgrywki z prawdopodobieństwem sukcesu określonym a priori przy użyciu zmiennej A skoro tak, to na mocy równości (1) zmienna ta - określona wcześniej jako granica podciągu - jest również granicą całego ciągu której istnienia nie mogliśmy wcześniej założyć.

Czy jednak krupier byłby w stanie zaproponować nam grę, w której istnienie wspomnianej granicy byłoby nieoczywiste? Okazuje się, że tak, i przykład nie jest specjalnie skomplikowany. Wyobraźmy sobie, że postawiono przed nami urnę, w której znajdują się dwie kule - jedna biała, druga czarna. W każdej rundzie wyciągamy z urny jedną kulę, a następnie wkładamy ją z powrotem wraz z jeszcze jedną kulą tego samego koloru. Rundę uznajemy za wygraną, jeśli wyciągnęliśmy w niej kulę białą. Oczywiście, kolejne rozgrywki nie są powtarzaniem tego samego doświadczenia - każde wyciągnięcie białej kuli zwiększa prawdopodobieństwo sukcesu w kolejnej rundzie. Łatwo można jednak wykazać, że otrzymywane wyniki tworzą ciąg zmiennych wymienialnych. Aby się o tym przekonać, wystarczy w tym przypadku stwierdzić, że zamiana ostatnich dwóch wyników w dowolnym ciągu początkowych rezultatów nie zmieni nam prawdopodobieństwa jego uzyskania pod warunkiem wcześniejszych wyników. Niech zatem będzie ciągiem pierwszych wyników. Jeśli postulowana równość jest oczywista. Bez straty ogólności przyjmijmy zatem i wówczas otrzymamy

Zgodnie z naszymi wcześniejszymi obserwacjami oznacza to ich niezależność i ten sam rozkład pod warunkiem znajomości (istniejącej) granicy - gdyby tajemniczy cudzoziemiec zdradził nam jej wartość to szansę na sukces w każdej kolejnej rundzie ocenialibyśmy właśnie na Wydaje się to dosyć zaskakujące, zwłaszcza jeśli przeprowadzimy podobne rozumowanie przy założeniu, że początkowo w urnie znajdowały się jedna kula biała i 100 czarnych oraz dostaliśmy informację - choć serce drżałoby z trwogi, zimna kalkulacja nakazywałaby już w pierwszej rundzie stawiać na szali zwycięstwa wszystkie nasze oszczędności, dom, psa i ubranie, gdyż szansa na sukces i tak wynosiłaby ! Cały sekret tkwi w fakcie, że pozornie duże prawdopodobieństwo porażki w pierwszym losowaniu jest "pożerane" przez informację o tak dużej (lecz również tak mało prawdopodobnej) wartości Przy naszych założeniach prawdopodobieństwo zdarzenia, że jest nie mniejsze od jest rzędu Nie trzeba wielkiej przenikliwości umysłu, by stwierdzić, że w tej sytuacji nasz cudzoziemiec z pewnością nie jest żadnym Bułhakowowskim Wolandem, a jedynie zwykłym hochsztaplerem. No, może nie z pewnością, a prawdopodobnie, więc może na wszelki wypadek uważajmy na plamy rozlanego oleju...