Skąd wiadomo, że moneta ma i orła, i reszkę?
W Delcie 1/2015 Łukasz Rajkowski oszacował, kiedy należy spodziewać się końca świata. Narzędziem użytym w tej analizie było wnioskowanie bayesowskie. Nie od dziś wiadomo, że należy je stosować z odpowiednią ostrożnością oraz dbałością o założenia i interpretacje. Dlaczego? Zastanówmy się nad poniższym prostym przykładem, gdzie na użytek tych, którzy nie wyobrażają sobie prawdopodobieństwa bez kul w urnach lub rzutów monetą, został wykorzystany ten ostatni model.
W cyrkach, do których nie dotarła jeszcze zasada równouprawnienia płci, sztuczki magiczne przedstawiane są przez magika wspieranego przez asystentkę. Wyobraźmy sobie sztuczkę, podczas której asystentka zamykana jest w solidnej skrzyni wraz z symetryczną monetą, którą wykonuje rzutów, odczytując na głos wyniki. Niestety, od czasu do czasu asystentkę nachodzi przemożna chęć zełgania wyniku: z prawdopodobieństwem
udzieli ona zatem odpowiedzi
gdy wypadnie orzeł, a odpowiedzi
po uzyskaniu reszki.
Wyniki podane magikowi przez asystentkę tworzą następujący ciąg danych

Zadanie magika polega na rozstrzygnięciu, która z poniższych hipotez jest poprawna, tzn. lepiej opisuje rzeczywistość.
- H_0: Moneta ma dwie reszki. (Moneta bez orła?! Prezes NBP przed Trybunał Stanu!)
- H_A: Moneta jest zwykłą symetryczną monetą z orłem i reszką.
Korzystając z twierdzenia Bayesa, magik może obliczyć prawdopodobieństwo tego, że prawdziwa jest hipoteza pod warunkiem uzyskania danych
:

Prawdopodobieństwa i
muszą zostać przyjęte niejako "z góry" i "na wiarę" - wyrażają one poglądy magika na temat modelowanego zjawiska. Jasne jest, że
(jeżeli asystentka rzuca monetą dwureszkową, to wynik pierwszego rzutu musiał być zmyślony, a pozostałe - nie) oraz
(jeżeli orły i reszki pojawiają się losowo, to ciąg
jest jednym z
możliwych wyników i losowe kłamstwo asystentki tego nie zmienia). Zachodzi zatem równość:

Niezależnie od poglądów na temat wartości i
przy
prawdopodobieństwo
może być dowolnie bliskie jedności (a prawdopodobieństwo
dowolnie bliskie zeru) pod warunkiem, że
jest dostatecznie duże. Oznacza to, że uzyskanie przez asystentkę odpowiednio długiego ciągu reszek będzie argumentem na rzecz odrzucenia przez magika hipotezy
i uznania hipotezy
za prawdopodobną.
Intuicyjnie oczywiste? Jednak z jednej z lóż słychać gwizdy! Siedzący tam widz postanowił spojrzeć na cyrkową sztuczkę od bardziej klasycznej strony. Można przecież sprawdzić, czy hipoteza jest po prostu zgodna z danymi
Gdyby hipoteza
była prawdziwa, prawdopodobieństwo uzyskania wyniku innego niż ciąg samych reszek równałoby się
Jeżeli
jest odpowiednio małą liczbą, prawdopodobieństwo to także jest małe, więc widz mógłby żądać odrzucenia hipotezy
To właściwie dlaczego odrzuciłeś hipotezę, że moneta ma i orła, i reszkę, magiku?