Ze szkoły znamy zapewne ciekawy przypadek rzutu kostką: średnio wypada  oczka. Każdy wynik ważymy bowiem prawdopodobieństwem, z jakim się go spodziewamy – tu wszystkie prawdopodobieństwa wynoszą   Łącznie mamy więc

Ale widział kto kiedy kostkę, która tyle właśnie pokazuje? Okazuje się, że ta „typowa” wartość jest w ogóle niemożliwa. Choć jeśli wykonamy odpowiednio dużo doświadczeń i obliczymy średnią z wyników rzutów, to wyjdzie nam coś w okolicy 

Właściwie można powiedzieć, że pojęcie wartości oczekiwanej było obecne u zarania, kiedy powstawał rachunek prawdopodobieństwa. Do Błażeja Pascala zgłosił się jego znajomy, Antoni Gombaud, lepiej znany jako kawaler de Méré, z prośbą, aby rozstrzygnąć sposób podziału puli pieniędzy przy grze w kości, gdy przerwie się grę w momencie, kiedy jedna ze stron wygrywa. W skrócie rzecz biorąc, możemy założyć, że mamy prostą grę, w której z zadanym prawdopodobieństwem, przyjmijmy roboczo że 50%, jeden z graczy wygrywa. Na przykład, gracze rzucają na przemian kośćmi i rundę wygrywa ten, kto pierwszy wyrzuci parę szóstek. Pięć wygranych rund oznacza wygraną całego meczu i,  niezależnie od tego, ile punktów zdobył przeciwnik, zgarnia się całą pulę.

Kawaler de Méré zadał Pascalowi pytanie, jak należało pulę podzielić, gdy jego przeciwnik miał 3, a on sam 4 punkty i grę musiano przerwać. Przeciwnik uważał, że w stosunku 3 do 4, czyli zgodnie z liczbą zdobytych punktów. Kawaler de Méré, że w stosunku 1 do 2, gdyż do wygranej jemu brakowało tylko jednego punktu, podczas gdy przeciwnikowi aż dwóch. Pascal przeprowadził rozumowanie, które dla nas dziś jest oczywiste: w połowie przypadków kolejną rundę, a zatem cały mecz wygra kawaler de Méré, a z pozostałej połowy znów połowę stanowi szansa wygrania przez niego całego meczu. Zatem łącznie kawaler de Méré miał aż trzy szanse na cztery, że wygra, podczas gdy jego przeciwnik tylko jedną. Pulę więc należałoby podzielić w stosunku 1 do 3. Zatem ani de Méré, ani jego partner nie mieli racji.

W rzeczywistości kawaler de Méré był zainteresowany innymi, bardziej złożonymi zagadnieniami. Chodziło mu o wyznaczenie takiej liczby rzutów, aby szanse na wygraną przekraczały połowę – wtedy mógł się zakładać na równych zasadach. Empirycznie doszedł, na przykład, do tego, że opłaca mu się przyjąć zakład o to, iż przy 4 rzutach kostką wypadnie co najmniej jedna szóstka. W rzeczywistości prawdopodobieństwo tego zdarzenia to prawie 52%. Nieco trudniej poszło mu z wyznaczeniem najmniejszej opłacalnej liczby rzutów dwiema kostkami tak, aby można się było założyć na równe stawki o to, że wypadną w końcu jednocześnie 2 szóstki. Wyszło mu 24, choć – jak się łatwo możemy dziś przekonać – musiał popełnić błąd (albo też miał nieco zwichnięte kości), gdyż prawdopodobieństwo sukcesu wynosi tu około 0,4914 i dopiero 25 rzutów daje przewagę. Pascal skontaktował się z innym francuskim matematykiem, Piotrem Fermatem. W rezultacie ich wspólnych dociekań powstała wymiana listów o zawartości, która uzasadnia stwierdzenie, że właśnie wtedy powstała teoria prawdopodobieństwa.

Zmienna losowa – wynalazek nieco późniejszy – to po prostu kodowanie niektórych wyników za pomocą liczb. Na przykład możemy kodować sukces przez wartość 1, a porażkę przez wartość 0. Jeżeli znamy prawdopodobieństwo sukcesu   to możemy się spodziewać, że średnio w   doświadczeniach losowych uzyskamy  jedynek i   zer. Wartość oczekiwana takiej dyskretnej zmiennej losowej to po prostu ważona odpowiednimi prawdopodobieństwami suma jej możliwych wyników.

Problem kawalera de Méré możemy ściśle ująć następująco. Przyjmijmy, że  jest taką rodziną zmiennych losowych, że dla ustalonego   wartość zmiennej  jest równa 1, jeśli w   kolejnych rzutach dwiema kośćmi wypadną co najmniej dwie szóstki, a 0 – jeśli nie. Pytamy się teraz o to, dla jakiego najmniejszego   wartość oczekiwana  przekracza połowę. Jeśli zatem będziemy w stanie wyznaczać wartości oczekiwane  dla każdego   to zadanie to zostanie rozwiązane i wynikiem jego będzie wartość   począwszy od której warto się zakładać o to, że dwie szóstki wypadną jednocześnie w ciągu  rzutów.

Ogólnie, jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia wynosi   a sami mamy nutkę hazardzisty oraz chętnego przeciwnika do zabawy, to mamy prostą strategię zakładania się o to, że to właśnie zdarzenie nastąpi. Załóżmy, że nasz przeciwnik jest skłonny wyłożyć pewną kwotę na zakład, iż nie uda się nam nasze doświadczenie. Postarajmy się ustalić tak nasz udział w zakładzie, aby się nam opłaciło. Dla uproszczenia przyjmijmy, że cała pula po wpłaceniu przez nas stawek ma wartość 1. Ile zatem bylibyśmy skłonni postawić w takim zakładzie? Oznaczmy tę niewiadomą stawkę przez   Wtedy z prawdopodobieństwem   wygramy  a z prawdopodobieństwem  stracimy   Chodzi o to, żeby bilans wyszedł dodatni, zatem mamy nierówność  Rozwiązując ją, otrzymujemy po prostu  Zatem jeśli postawimy mniej niż -tą część puli przeciw  wyjdziemy na tym dobrze, jeśli więcej, to wyjdziemy na tym źle, a jeśli postawimy dokładnie   to zakład nie będzie faworyzował nikogo z nas. Przy długich seriach wygrana będzie oscylowała wokół zera.

Sytuacja się komplikuje, jeżeli wygrane są duże w porównaniu do prawdopodobieństw. Wyobraźmy sobie takie doświadczenie. Nasz kolega bierze dwie identyczne puszki, monetę i trochę gotówki i wychodzi do sąsiedniego pokoju. Tam rzuca monetą tak długo, aż wypadnie reszka. Notuje liczbę wykonanych rzutów   i do jednej puszki wkłada  zł, a do drugiej  zł. Zamyka puszki, przynosi je nam i proponuje, żebyśmy wybrali, z której puszki chcemy dostać pieniądze. Możemy jedną z nich otworzyć i przeliczyć gotówkę, a następnie albo ją wziąć, lub też „w ciemno” zdecydować się na drugą puszkę i zadowolić tym, co tam zastaniemy. Jaką strategię powinniśmy przyjąć?

Zauważmy, że uzyskanie  rzutów monetą do pierwszej reszki ma prawdopodobieństwo  bo musi wypaść dokładnie  orłów, a potem reszka. Jeśli widzimy, że w pierwszej puszce jest  zł, to albo (czyli widzimy jedną złotówkę) i wtedy na pewno opłaca się zdecydować na pewne  zł w drugiej puszce, albo  W tym drugim przypadku jeśli zdecydujemy się na pozostanie przy pieniądzach z pierwszej puszki, to wygramy po prostu   zł. Jeśli natomiast zdecydujemy się na zmianę puszki, to możemy tam zastać albo  zł, albo  zł, przy czym to drugie zdarzenie będzie dwa razy mniej prawdopodobne. Para  ma bowiem prawdopodobieństwo   zaś para  ma prawdopodobieństwo   Zatem oczekiwana ilość pieniędzy w drugiej puszce to  co jest większe niż   bo przecież już sam drugi składnik to dokładnie 

Dochodzimy do zaskakującego wniosku: zawsze się opłaca wybrać tę drugą puszkę! Ale po co w takim razie w ogóle było otwierać tę pierwszą? I która miałaby niby być ta pierwsza – przecież puszki są nierozróżnialne. Gdybyśmy chwycili najpierw tę drugą i przeliczyli pieniądze, które się tam znajdują, to też opłacałoby się zmienić decyzję? I uzyskać ostro większą wartość oczekiwaną przy zmianie decyzji z powrotem na tę pierwszą? Coś tu nie gra!

Dochodzimy tu do fenomenu znanego w probabilistyce pod nazwą paradoksu petersburskiego. Odkryty on został przez Daniela Bernoulliego. Odkrył on, że jeśli prawdopodobieństwa nieskończenie wielu zdarzeń będą odpowiednio duże, to wartość oczekiwana może wyjść nieskończona, mimo że w każdym doświadczeniu zyskujemy jedynie skończoną wartość. Tak jest i u nas. Nawet jeśli będziemy wybierali za każdym razem pierwszą puszkę, to wartość oczekiwana wyniesie co najmniej

A jak będziemy kaprysili i zdecydujemy się na branie tej drugiej puszki, to nawet więcej. Zaraz, zaraz. Więcej niż nieskończoność? O ile?

No właśnie! Nieskończoności nie da się przeskoczyć. Tu mamy do czynienia z nieintuicyjnym pojęciem nieskończonej wartości oczekiwanej. W ujęciu bliskim kawalerowi de Méré po prostu mamy do czynienia z sytuacją, w której zapytani, jaką sumę bylibyśmy w stanie zapłacić, aby w taką grę sobie zagrać, powinniśmy odpowiedzieć: każdą.

Ciekawe, że gdy psychologowie badali ten aspekt, okazało się, że ludzie nie byli tacy przekonani o opłacalności takiej gry i średnio deklarowali kilkadziesiąt zł.

Warto dodać, że Pascal pojęcie nieskończonej wartości oczekiwanej rozumiał na wiele lat przed Bernoullim. Oparł na nim swój słynny zakład. W obliczu nieskończonej szczęśliwości w przyszłym życiu oferowanej przez Boga nie należy kombinować, tylko po prostu żyć zgodnie z przykazaniami. Żadna wartość w doczesnym, skończonym życiu nie zrekompensuje nam braku wiecznego szczęścia. Nie mówiąc już o nieskończonej ujemnej wartości oczekiwanej, jeśli przydarzyłoby się nam przegrać na Sądzie Ostatecznym. Zostawmy może te rozważania teologom, a na własny użytek raczej omijajmy kolektury Lotto, bo tam oczekiwana wartość wygranej oscyluje wokół -50% opłaconej stawki. Więc jeśli nachodzi nas chęć wykupienia losu za 3 zł, to znacznie bardziej opłacalne jest wyrzucenie do kosza przy kolekturze, na przykład, złotówki. W długiej perspektywie wyjdziemy na tej strategii lepiej.