Część I: Jak często umiera najstarszy człowiek na Ziemi?

Oczywiście, na tak postawione pytanie matematyka nie udzieli odpowiedzi. Zbyt wiele czynników ma na to wpływ. Są wśród nich czynniki trudne do zmierzenia: w jakich jednostkach wyrazilibyśmy, powiedzmy, swój stan zdrowia lub łaskę bogów (przecież wybrańcy bogów umierają młodo)? Można jednak rozważyć bardzo uproszczony model, w którym postawione na wstępie pytanie nabierze matematycznego sensu. Wyobraźmy sobie świat sprawiedliwy, w którym każdy człowiek w momencie urodzenia ma jednakowe prawdopodobieństwo  przeżycia ponad   lat. Nazwiemy funkcją przeżycia. Z tego, co powiedzieliśmy, wynika, że  i   Nie przesądzajmy, czy maksymalny możliwy czas życia jest skończony, czyli czy istnieje takie  że  To się okaże nieistotne w naszych rozważaniach. Nasze wyjściowe założenia możemy sformułować w następujący sposób:

T1

Każdy noworodek ma jednakową funkcję przeżycia

T2

Długości życia różnych noworodków są statystycznie niezależne.

Co znaczy założenie T2? Jeśli rozważymy dwóch osobników, to prawdopodobieństwo tego, że pierwszy przeżyje ponad  lat i drugi  lat, jest równe  dla dowolnej pary liczb nieujemnych  i   Podobnie prawdopodobieństwa się „przemnażają” dla trzech i więcej osobników.

Rys. 1 Całka oznacza pole obszaru pod wykresem funkcji  zaznaczonego na dolnej części rysunku. Górna część rysunku jest wykresem funkcji

Potrzebny nam będzie jeszcze opis funkcji przeżycia  za pomocą tak zwanej gęstości prawdopodobieństwa. Zdarzenie polegające na tym, że długość życia pojedynczego osobnika należy do „krótkiego odcinka czasu”  ma prawdopodobieństwo  Niech

Nieformalnie znaczy to, że  Żeby wyrazić funkcję  poprzez funkcję  podzielmy przedział  na krótkie odcinki długości  Mamy

Przechodząc do granicy z   otrzymamy dokładną równość (patrz rysunek 1).

Druga grupa założeń mówi z grubsza tyle, że dzieci przychodzą na świat całkowicie losowo i z jednakową intensywnością. W języku rachunku prawdopodobieństwa „strumień narodzin” stanowi jednorodny proces Poissona. Ten niezwykle ciekawy obiekt matematyczny opiszemy poprzez następujące założenia:

N1

Dla dowolnego momentu  prawdopodobieństwo urodzenia się dziecka w „krótkim” odcinku czasu  jest w przybliżeniu równe  prawdopodobieństwo zaś urodzenia się więcej niż jednego dziecka jest tak małe, że możemy je zaniedbać.

N2

Liczby noworodków pojawiających się w rozłącznych odcinkach czasu są statystycznie niezależne.

Zwróćmy uwagę, że mówimy teraz o „czasie kalendarzowym”, liczonym od pewnego umownego momentu  Wyjaśnimy te założenia nieco dokładniej. Niech  oznacza prawdopodobieństwo tego, że w przedziale czasowym długości  urodzi się dokładnie  dzieci. Założenie N1 mówi, że

Oczywiście, z tego wynika, że  Ukryte w warunku N1 jest założenie, że liczba narodzin w określonym odcinku czasu zależy tylko od długości tego odcinka. W naszym szybko zmieniającym się rzeczywistym świecie oczywiście tak nie jest, ale rozważamy uproszczony model stacjonarny.

Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru wyrażającego  dla dowolnego  Podzielmy odcinek  na sumę  krótkich odcinków  o długości  Dla każdego z tych odcinków prawdopodobieństwo nienarodzenia się dziecka jest w przybliżeniu równe  z założenia N1. Z założenia N2 wynika, że

Funkcja „exp” w tym wzorze jest to funkcja wykładnicza,  gdzie podstawa potęgi  jest tak wybrana, żeby  Nieformalnie mówiąc,  dla „bliskiego zeru”. Tę własność wykorzystaliśmy w wyprowadzeniu wzoru na  Wykorzystaliśmy także dobrze znaną własność przysługującą każdej funkcji wykładniczej, mianowicie

Stwierdzenie 1. Prawdopodobieństwo tego, że w odcinku czasu  nie urodzi się ani jedno dziecko, jest dane wzorem:

Sam ten wynik nie będzie bezpośrednio używany, ale dalsze rozumowania (w nieco bardziej skomplikowanej sytuacji) będą podobne.

Przyjmijmy jeszcze jedno założenie.

TN

Długości życia wszystkich osobników są statystycznie niezależne od procesu narodzin.

Spostrzeżenie, które pozwoli nam na rozwiązanie postawionego zadania, jest niezwykle proste.

Rys. 2 Symulowany przebieg procesu; kolorowe kółka oznaczają rekordy długowieczności.

Nasz główny rezultat możemy sformułować w następującej postaci.

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pojedynczy osobnik w momencie śmierci będzie starszy od wszystkich aktualnie żyjących, jest równe

Zanim podamy dowód, zaproponujemy pewną geometryczną interpretację badanego procesu. Rozważmy układ współrzędnych na płaszczyźnie. Oś poziomą oznaczymy literką  i będziemy na niej zaznaczali czas „kalendarzowy”. Oś pionowa, oznaczona  „mierzy” czas życia. Życie osobnika, który urodził się w momencie  i przeżył  lat, przedstawimy w postaci odcinka o końcach  i 

Na rysunku 2 widzimy przykładową realizację opisywanego przez nas procesu.

Punkty na osi (czyli momenty narodzin) stanowią, jako się rzekło, jednorodny proces Poissona. Proces na naszym rysunku ma intensywność  co oznacza, że średnio na jednostkę czasu (powiedzmy, rok) przypada  narodzin. Współrzędne pionowe punktów stanowią, w języku statystyki matematycznej, próbkę z rozkładu prawdopodobieństwa długości życia, opisanego funkcją  W naszym przykładzie jest to funkcja przedstawiona na rysunku 1.

Sformułujemy następujący wynik pomocniczy.

Lemat 1. Jeśli pewien osobnik umrze w wieku  lat, to prawdopodobieństwo tego, że w momencie śmierci będzie starszy od wszystkich aktualnie żyjących, jest równe

Dowód. Najpierw opiszmy interesujące nas zdarzenie losowe geometrycznie. Śmierć osobnika, o którym mowa, jest reprezentowana przez punkt  W chwili  ten osobnik jest najstarszy ze wszystkich wtedy i tylko wtedy, gdy nie zdarzy się śmierć opisana takim punktem  że  i   Innymi słowy, mamy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w obszarze  zaznaczonym na rysunku 3, nie ma „punktów śmierci”.

Podzielmy obszar  na „wąskie paski” wysokości  tak jak pokazano na rysunku 3. Powiemy, że podstawy pasków są to (pionowe) odcinki pomiędzy punktami  Zajmiemy się bliżej „typowym paskiem” numer  o podstawie  Zgodnie ze Stwierdzeniem 2 w tym pasku z prawdopodobieństwem bliskim  leży jeden „punkt śmierci”. Prawdopodobieństwo tego, że w tym pasku leżą dwa punkty lub więcej jest tak małe, że możemy je zaniedbać. Stąd wynika, że prawdopodobieństwo braku punktów w pasku rozsądnie przybliża liczba  Rzecz jasna, brakuje punktów w całym obszarze  gdy w każdym pasku brak punktów. Z Założeń T2, N2 i TN wnioskujemy, że obliczane przez nas prawdopodobieństwo jest iloczynem odpowiednich prawdopodobieństw dla pasków, a więc w przybliżeniu

To jest wyrażenie, które chcieliśmy otrzymać. Wykorzystaliśmy pewne przybliżone równości, które stają się coraz dokładniejsze, jeśli  maleje do zera. Przyjmijmy, z przymrużeniem oka, że „wykazaliśmy słuszność lematu”.

---

W Lemacie pojawiła się funkcja, którą odtąd będziemy oznaczać

Dowód Twierdzenia. Najtrudniejsze już mamy za sobą. Wystarczy teraz zsumować prawdopodobieństwa zdarzeń polegających na tym, że rozpatrywana osoba umarła w przedziale wieku  i była w momencie śmierci starsza od wszystkich innych. Korzystając z Lematu, otrzymujemy

Przejście do granicy z   zmienia przybliżenia w dokładne równości i kończy dowód twierdzenia.

---

Dygresje i komentarze za miesiąc.