Gra

Przyjmijmy, że w grze uczestniczy  osób, a stawka wynosi 1 złoty. Dochód  dzieli się na części:  – część wzięta przez organizatora,  – pula wygranych I stopnia (szóstek),  – pula wygranych niższego stopnia. Gdy w danej grze szóstka nie padnie, ta druga część przenosi się na kolejną grę i mamy pierwszą kumulację. Brak szóstki w kolejnych grach daje sensacyjne niekiedy serie kumulacji. Pojawienie się szóstki w grze przerywa ciąg kumulacji, jest chwilą swoistej odnowy w ciągu gier.

W Lotto mamy dwa mechanizmy losowe: wybór szóstki  przez maszynę i wybór szóstki  przez gracza. Można założyć, że oba te losowania są niezależne. Rozkład  jest jednostajny:

na zbiorze wszystkich możliwych szóstek  wybranych spośród 49 liczb, natomiast  zależy od upodobań graczy. Ten drugi rozkład może być poznawany jedynie przez statystyków. Prawdopodobieństwo koincydencji wynosi

Liczba szóstek

Niech  oznacza liczbę szóstek w grze przy udziale  osób. Jeśli założyć, że grający losują liczby wzajemnie niezależnie i mają określone predylekcje do liczb, ale nie mają ich do układów, to

Prawdopodobieństwo powstania kumulacji wynosi  Oczekiwana liczba szóstek w grze jest stała,  natomiast predylekcje zwiększają wariancję liczby głównych wygranych. Prosty rachunek daje wariancję

Ten fakt wyjaśnia, dlaczego w praktyce liczba wygranych I stopnia jest tak bardzo zmienna.

Gra na kumulację

Oznaczmy przez  prawdopodobieństwo pojawienia się przynajmniej jednej szóstki wśród  kuponów. Jest ono dość chimeryczne, zależy od liczb wylosowanych przez maszynę losującą i od upodobań grających do określonych liczb i ich konfiguracji. Gdyby gracze wybierali swoje typy jak maszyna, to mielibyśmy

Odnotujmy, że  Przyjmijmy, że skumulowane kwoty na nagrody I stopnia wynoszą  Oczekiwaną wygraną  przypadającą na jeden kupon można znaleźć, dzieląc pulę nagród przez liczbę grających. Mamy

Wiadomo, że kumulacja powoduje wzrost liczby grających, a rzesza konkurentów do podziału kwoty odłożonej zmniejsza nasze szanse na sukces. Przy rosnącej liczbie grających prawdopodobieństwo kumulacji znika,  gdy  Aby wejść do gry, należy trafnie przewidzieć liczbę grających. Statystyczną pewność (rozumianą jako zdarzenie o prawdopodobieństwie 0,95) tego, że wygrana I stopnia padnie, mamy dopiero przy  przekraczającym 42 miliony kuponów. Przy dużym  warunek  opłacalności gry implikuje

Wzrost liczby grających

Ocena wzrostu liczby grających w zależności od wielkości kumulacji jest trudnym problemem dla analityków gier. Przyjmijmy, że wzrost ten w ciągu kumulacji jest potęgowy: liczba grających w   kolejnych grach będzie równa  Pula nagród I stopnia przy -tej kumulacji wynosi

Oczekiwana wygrana w  -tej kumulacji wynosi więc

Przypuśćmy teraz, że liczba grających jest proporcjonalna do kumulacji. Niech    oznaczają liczbę grających i kwotę kumulacji w serii. Ściśle biorąc, jeśli przyrost liczby grających jest proporcjonalny (ze współczynnikiem proporcjonalności ) do funduszu szóstek, to zachodzą wzory rekurencyjne:

Zwrot w  -tej grze wynosi

Obliczenia

Przeanalizujmy czas czekania na korzystne wejście do gry. Obserwując częstość pojawienia się pierwszej kumulacji, wielkość  można próbować oszacować. Niepoprawny optymista, nie mając danych, może przyjąć, że jest ono równe 1.

Weźmy dla przykładu    i niech  a wtedy  Eksperymenty numeryczne pokażą, jak wzrost liczebności grających wpływa na czas wejścia do gry. Przy wzroście potęgowym szukamy chwili, kiedy po raz pierwszy jest  Obliczenia pokazują, że przy  mamy  przy czym dla  mamy  Przy wzroście proporcjonalnym szansa na zwrot  gdy  pojawia się przy sześciu kumulacjach. Przy  liczba grających rośnie tak szybko, że w grze na kumulację nie ma miejsca na zysk.

Manipulacja

Organizator gry, zainteresowany wzrostem liczby grających, może modyfikować podział puli na nagrody tak, ażeby kwota skumulowana rosła szybko, ma więc narzędzie do manipulowania klientami. Eksperymentując wielkością puli nagród poszczególnych stopni, pozostawmy zysk organizatora bez zmiany, przeznaczmy  na wygrane niższego stopnia i  na wygrane I stopnia. Zmiana nie wpłynie na liczbę wygranych, natomiast podwoi wygrane niższych stopni i zmniejszy kwoty skumulowane. Teraz czas czekania na korzystną kumulację wydłuży się. Przy wzroście potęgowym i   dla  otrzymujemy  przy  otrzymamy  itd. Trzeba jednak pamiętać, że kiedy liczba grających wzrasta gwałtownie, warunki do gry na kumulację mogą nie być osiągnięte, nim padnie szóstka. Dodajmy jeszcze, zanim przystąpimy do gry na kumulację, że gigantyczne wygrane mają małą użyteczność dla szczęśliwców. Ale jest to już inny problem.