Omega

Wół, lis i konik polny

Czarownica $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ na rozstaju dróg mówi do lisa $\text{[math]}$ , wołu $\text{[math]}$ i konika polnego $\text{[math]}$ : „Pójdziesz w prawo, dostaniesz pół złotego, ...

... pójdziesz w lewo, dostaniesz garść miedziaków z sakiewki – możesz je sobie przeliczyć. Ja jestem uczciwą czarownicą i kwota wyciągnięta z sakiewki ma rozkład prawie jednostajny na przedziale $\text{[math]}$

Średnio dostajesz pół złotego. Chodziłeś do szkół – będziesz wiedział, co to znaczy. Nie chce mi się więcej gadać, rzuć okiem na plan. Uważaj na wiedźmina z dwójki. Pójdziesz w lewo – on weźmie z garści miedziaków coś na piwo (ile się da, ale nie więcej niż ćwierć złotego) i wypłaci resztę – jeśli zostanie”.

Może i słusznie czarownicy nie chciało się gadać. Formalny opis gry jest prosty. Wymaga dwóch niezależnych zmiennych losowych $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ o rozkładzie jednostajnym na przedziale $\text{[math]}$ Oto wypłaty odpowiadające czterem możliwym drogom:

display-math

W trzech przypadkach średnia wypłata jest równa 1, w jednym – nieco mniejsza.

Na rozstaju pojawia się wół, który nie lubi niespodzianek. Idzie dwa razy w prawo, wygrywa średnio (i zawsze) złotówkę. Konik polny lubi ryzyko, ale nie myśli. Idzie dwa razy w lewo, średnio dostaje złotówkę.

Lis akceptuje ryzyko i myśli. A myśli tak: jeśli za pierwszym razem miedziaków będzie mało, pójdę w prawo. I tak mam gwarantowane pół złotego, a może będzie lepiej? Ostatecznie lis (po konsultacji z niedźwiedziem) dochodzi do ogólnej teorii. Najpierw rozważa wypłaty w ostatnim kroku, gdzie wybór drogi jest oczywisty: niezależnie od tego, co już ma, wybiera większą z oferowanych wypłat. W stanie 1 otrzyma zatem $\text{[math]}$ a w stanie 2 – $\text{[math]}$ Może nawet obliczyć średnie (szybki sposób na końcu artykułu):

display-math

To z kolei umożliwi mu podjęcie decyzji na starcie. Jeśli

display-math

czyli $\text{[math]}$ to idzie w prawo (teraz już wie dokładnie, co to znaczy, że miedziaków jest za mało: progiem decyzyjnym jest $\text{[math]}$ kwartnika). W przeciwnym razie idzie w lewo. Co na tym zyskuje?

Zobaczmy. Średnia wygrana w pierwszym kroku jest równa

display-math

gdzie pierwszy składnik odpowiada drodze w lewo, drugi – w prawo. Symbol $\text{[math]}$ oznacza zmienną losową wskaźnikową zdarzenia $\text{[math]}$ : przyjmuje ona wartość 1 na $\text{[math]}$ i 0 na $\text{[math]}$ W efekcie $\text{[math]}$

Drogę w lewo wybieramy z prawdopodobieństwem $\text{[math]}$ i wygrywamy w drugim kroku średnio $\text{[math]}$ ; dla drogi w prawo odpowiednie wielkości są równe $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ zatem średnio w drugim kroku mamy

display-math

Ostatecznie lis wygrywa średnio

display-math

czyli o ponad 20% więcej niż wół i konik polny. W istocie lis znalazł sposób na uzyskanie największej możliwej średniej wygranej (czego nie udowodnimy).

Wyjaśnimy natomiast na zakończenie, jak zostały obliczone występujące powyżej średnie. Jeśli $\text{[math]}$ jest nieujemną zmienną losową, to

display-math

Gdy $\text{[math]}$ ma rozkład ciągły, wzór ten można otrzymać rutynowo: całkując przez części. Ale najbardziej pożyteczny staje się on w przypadku bardziej ogólnych rozkładów.

Obliczenie $\text{[math]}$ sprowadza się do obliczenia pola prostej figury geometrycznej. Z kolei $\text{[math]}$ jest polem trapezu o wysokości $\text{[math]}$ i bokach $\text{[math]}$ oraz 1; prosimy Czytelnika o sprawdzenie.